§ 9. Непрерывность функций

Пусть функция y = f(x) определена при некотором значении и в некоторой окрестности с центром в Пусть

Если получит некоторое положительное или отрицательное — безразлично — приращение и примет значение то и функция у получит некоторое приращение .

Новое, наращенное значение функции будет

Рис. 48.

Приращение функции выразится формулой

Определение 1. Функция называется непрерывной при значении (или в точке ), если она определена в некоторой окрестности точки (очевидно, и в самой точке ) и если

или, что то же самое,

Условие непрерывности (2) можно записать и так:

или

но

Следовательно, равенство (3) можно записать так:

т. е. для того, чтобы найти предел непрерывной функции при достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента его значение .

Описательно геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции в точках будет по абсолютной величине произвольно малой, если только будет достаточно, мало.

Пример 1. Докажем, что функция непрерывна в произвольной точке Действительно,

при любом способе стремления к нулю (рис. 49, а и б).

Рис. 49.

Пример 2. Докажем, что функция непрерывна в произвольной точке Действительно,

Было показано, что Функция ограничена. Следовательно,

Аналогичным образом, рассматривая каждую основную элементарную функцию, можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Докажем далее следующую теорему.

Теорема 1. Если функции непрерывны в точке , то сумма также есть непрерывная функция в точке .

Доказательство. Так как непрерывны, то на основании равенства (3) можем написать

На основании теоремы 1 о пределах можем написать Ига

Итак, сумма есть непрерывная функция. Теорема доказана.

Как следствие отметим, что теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Опираясь на свойства пределов, так же можно доказать следующие теоремы:

а) Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

б) Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

в) Если непрерывна при непрерывна в точке сложная функция непрерывна в точке

Используя эти теоремы, можно доказать следующую теорему. Теорема 2. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Пример 3. Функция непрерывна в любой точке 0 и потому

Пример 4. Функция непрерывна в любой точке и потому

Пример 5. Функция непрерывна в каждой точке и потому

Пример 6. . Так как и функция непрерывна при и, следовательно,

Определение 2. Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Если функция определена и при и при этом , то говорят, что в точке а непрерывна справа. Если то говорят, что функция в точке непрерывна слева.

Если функция непрерывна в каждой точке интервала и непрерывна на концах интервала соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом интервале или отрезке

Пример 7. Функция непрерывна на любом отрезке что следует из примера 1.

Если в какой-то точке для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, т. е. если

при функция не определена или не существует предел или при произвольном стремлении , хотя выражения, стоящие справа и слева, существуют, то при функция y = f(x) разрывна. Точка в этом случае называется точкой разрыва функции.

Пример 8. Функция разрывна при Действительно, при функция не определена: . Легко показать, что эта функция непрерывна при любом значении

Пример 9. Функция разрывна при Действительно, При функция не определена (рис. 50).

Рис. 50.

Пример 10. Рассмотрим функцию . При при будет Следовательно,

при функция не определена. Таким образом, мы установили, что функция разрывна при

Рис. 51.

Пример 11. Функция рассмотренная в примере 4 § 3, разрывна при

Определение 3. Если функция такова, что существуют конечные пределы но или или значение функции при не определено, то называется точкой разрыва рода. (Например, для функции, рассмотренной в примере 10, точка х = 0 есть точка разрыва 1-го рода.)