§ 2. Определение производной

Пусть мы имеем функцию

определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента из этого промежутка функция y = f(x) имеет определенное значение.

Пусть аргумент получил некоторое (положительное или отрицательное — безразлично) приращение Тогда функция у получит некоторое приращение . Таким образом: при значении аргумента будем иметь при значении аргумента будем иметь Найдем приращение функции .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f (х) и обозначают f (х). Таким образом, по определению

или

Следовательно, производной данной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что в общем случае для каждого значения производная имеет определенное значение, т. е. производная является также функцией от.

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например Конкретное значение производной при а обозначается или

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

Пример 1. Дана функция найти ее производную

1) в произвольной точке

2)

Решение. 1) При значении аргумента, равном имеем При значении аргумента, равном имеем Находим

приращение функции: Составляем отношение Переходя к пределу, найдем производную от данной функции: Итак, производная от функции в произвольной точке равна

При получим

Пример 2. найти у.

Решение. Рассуждая так же, как в предыдущем примере, получаем

Замечание. В предыдущем параграфе было установлено, что если зависимость расстояния s движущейся точки от времени t выражается формулой то скорость v в момент t выражается формулой

Следовательно, т. e. скорость равна производной от пути по времени