Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента из этого промежутка функция y = f(x) имеет определенное значение.
Пусть аргумент получил некоторое (положительное или отрицательное — безразлично) приращение Тогда функция у получит некоторое приращение . Таким образом: при значении аргумента будем иметь при значении аргумента будем иметь Найдем приращение функции .
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f (х) и обозначают f (х). Таким образом, по определению
или
Следовательно, производной данной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Заметим, что в общем случае для каждого значения производная имеет определенное значение, т. е. производная является также функцией от.
Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например Конкретное значение производной при а обозначается или
Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.
Пример 1. Дана функция найти ее производную
1) в произвольной точке
2)
Решение. 1) При значении аргумента, равном имеем При значении аргумента, равном имеем Находим
приращение функции: Составляем отношение Переходя к пределу, найдем производную от данной функции: Итак, производная от функции в произвольной точке равна
При получим
Пример 2. найти у.
Решение. Рассуждая так же, как в предыдущем примере, получаем
Замечание. В предыдущем параграфе было установлено, что если зависимость расстояния s движущейся точки от времени t выражается формулой то скорость v в момент t выражается формулой
Следовательно, т. e. скорость равна производной от пути по времени