ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл — одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенного интеграла.
Рис. 210.
Рис. 211.
Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
(рис. 210 и 211). Обозначим через 
и М ее наименьшее И наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок 
на 
частей точками деления 
причем 
и положим 
. Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
через 
на отрезке 
через 
отрезке 
через 
Составим суммы
Сумму 
называют нижней интегральной суммой, а сумму 
верхней интегральной суммой.
Если 
нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры» 
ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры»
ограниченной «описанной» ломаной.
Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.
Рис. 212.
а) Так как 
для любого 
то на основании формул (1) и (2) имеем
равенства будет только в случае, если 
б) Так как 
где 
— наименьшее значение 
на 
то
Итак,
в) Так как 
где М — наибольшее значение 
на 
то
Итак,
Соединяя вместе полученные неравенства, имеем
Если 
то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис. 212), так как произведения 
соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника 
и «описанного» прямоугольника 
.
