§ 3. Геометрическое значение производной

Мы подошли к понятию производной, рассматривая скорость движущегося тела (точки), т. е. исходя из механических представлений. Теперь мы дадим не менее важное геометрическое истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку Возьмем на кривой точку и проведем секущую Если точка неограниченно приближается по кривой к точке то секущая занимает различные положения и т. д. Если при неограниченном приближении точки по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой то прямая называется

касательной к кривой в точке (понятие «стремится занять» будет уточнено ниже).

Рис. 58.

Рассмотрим функцию и соответствующую этой функции кривую

в прямоугольной системе координат (рис. 59).

Рис. 59.

При некотором значении функция имеет значение y = f(x). Этим значениям х и у на кривой соответствует точка Дадим аргументу приращение Новому значению аргумента соответствует «наращенное» значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведем секущую и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ох. Составим отношение Из рис. 59 непосредственно усматриваем, что

Если теперь будет стремиться к нулю, то точка будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением Если при угол стремится к некоторому пределу а, то прямая, проходящая через и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол а, будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент:

Рис. 60.

Следовательно,

т. e. значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в соответствующей точке с положительным направлением оси Ох.

Пример. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках

Решение. На основании примера 1 § 2 имеем следовательно,