§ 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина

Будем говорить, что переменная есть упорядоченная переменная величина, если известна область изменения этой переменной величины и про каждое из двух любых ее значений можно сказать, какое значение предыдущее и какое последующее. Здесь понятия «предыдущее» и «последующее» не связаны со временем, а являются способом «упорядочения» значений переменной величины, т. е. установления порядка соответствующих значений переменной величины.

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность Здесь при значение - «предшествующее», а значение -«последующее» независимо от того, какое из этих значений больше.

Определение 1. Переменная величина называется возрастающей, если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения. Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего.

Возрастающие переменные величины и убывающие переменные величины называются монотонно изменяющимися переменными величинами или просто монотонным» величинами.

Пример. При удвоении числа сторон правильного вписанного в круг многоугольника площадь s этого многоугольника является возрастающей переменной величиной. Площадь правильного описанного около круга многоугольника при удвоении числа сторон является убывающей переменной величиной. Заметим, что не всякая переменная величина является непременно возрастающей или убывающей. Так, например, переменная если а есть возрастающая величина на отрезке не является монотонной величиной. Она сначала возрастает от 0 до 1, затем убывает от и, наконец, возрастает от —1 до 0.

Определение 2. Переменная величинахназывается ограниченной, если существует такое постоянное число что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию Иначе говоря, переменная величина называется ограниченной, если можно указать такой отрезок , что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут принадлежать этому отрезку. Однако не следует думать, что переменная величина будет принимать непременно все значения отрезка Например, переменная величина, принимающая всевозможные рациональные значения на отрезке [-2, 2], ограничена, тем не менее она не принимает всех значений на [-2, 2], а именно иррациональных.