§ 3. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 1. Постоянный множитель можно не выносить за знак определенного интеграла: если , то

Доказательство.

Свойство 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функцйй равен алгебраической сумме интегралов

от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых

Докааательство.

Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых.

Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая остаются в силе и при

Однако следующее свойство справедливо при Свойство 3. Если на отрезке , где функции удовлетворяют условию , то

Доказательство. Рассмотрим разность

Здесь каждая разность Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, неотрицательна вся сумма и неотрицателен ее предел, т. е. или откуда следует неравенство (3).

Если то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис. 217). Так как

то площадь криволинейной трапеции не больше площади криволинейной трапеции

Свойство 4. Если и М — наименьшее и наибольшее - значения функции на отрезке то

Доказательство. По условию

На основании свойства (3) имеем

Но

(см. пример 3 § 2). Подставляя эти выражения в неравенство (4), получим неравенство (4).

Рис. 217.

Рис. 218.

Если то это свойство легко иллюстрируется геометрически (рис. 218): площадь криволинейной трапеции содержится между площадями прямоугольников

Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке то на этом отрезке найдется такая тонка что справедливо следующее равенство:

Доказательство. Пусть для определенности Если и М суть соответственно наименьшее и наибольшее значения

на отрезке то в силу формулы (4) . Отсюда где .

Так как непрерывна на отрезке то она принимает все промежуточные значения, заключенные между . Следовательно, при некотором значении будет , т. е.

Свойство 6. Для любых трех чисел а, b, с справедливо равенство

если только все эти три интеграла существуют.

Доказательство. Предположим сначала, что и составим интегральную сумму для функции на отрезке

Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на части, то мы будем разбивать отрезок на малые отрезки так, чтобы точка с была точкой деления.

Рис. 219.

Разобьем далее интегральную сумму соответствующую отрезку на две суммы: сумму 2. соответствующую отрезку , и сумму соответствующую отрезку

Тогда

Переходя в последнем равенстве к пределу при получим соотношение (6).

Если то на основании доказанного можем написать

но на основании формулы (4) § 2 имеем поэтому

Аналогичным образом доказывается это свойство при любом другом расположении точек а, b и с.

На рис. 219 дана геометрическая иллюстрация свойства 6 для того случая, когда площадь трапеции равна сумме площадей трапеций