§ 7. Разложение по формуле Тейлора функций e^x, sin x, cos x

1. Разложение функции . Находя последовательные производные от , получим

Подставляя полученные выражения в формулу (10) § 6, будем иметь

Если то, взяв получим оценку остаточного члена:

При получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа :

производя вычисления в десятичных дробях с шестью десятичными знаками, а затем округляя результат до пяти десятичных знаков, найдем

Здесь погрешность не превосходит числа или 0,00001. Отметим, что, каково бы ни было остаточный член

Действительно, так как , то величина при фиксированном ограничена (она меньше при и меньше 1 при ).

Докажем, что, каково бы ни было фиксированное число х,

Действительно,

Если - фиксированное число, то найдется такое целое положительное число N, что

Введем обозначение тогда, заметив, что можем написать при и т.д.

потому что

Но величина постоянная, т. е. не зависит от стремится к нулю при Поэтому

Следовательно, при

Из предыдущего следует, что при любом взяв достаточное число членов, мы можем вычислить с любой степенью точности.

2. Разложение функции . Находим последовательные производные от

Подставляя полученные значения в формулу (10) § 6, получим разложение функции по формуле Тейлора:

Так как при всех значениях

Применим полученную формулу для приближенного вычисления Положим , т. е. ограничимся двумя первыми членами разложения; . Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Следовательно, погрешность меньше 0,001, т. е. с точностью до 0,001.

На рис. 97 даны графики функции и первых трех приближений:

3. Разложение функции

Рис. 97.

Находя значения последовательных производных при от функции и подставляя в формулу Маклорена, получим разложение:

Здесь также при всех значениях х.