§ 7. Разложение по формуле Тейлора функций e^x, sin x, cos x
1. Разложение функции 
. Находя последовательные производные от 
, получим
Подставляя полученные выражения в формулу (10) § 6, будем иметь
Если 
то, взяв 
получим оценку остаточного члена:
При 
получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа 
:
производя вычисления в десятичных дробях с шестью десятичными знаками, а затем округляя результат до пяти десятичных знаков, найдем
Здесь погрешность не превосходит числа или 0,00001. Отметим, что, каково бы ни было 
остаточный член
Действительно, так как 
, то величина 
при фиксированном 
ограничена (она меньше 
при 
и меньше 1 при 
).
Докажем, что, каково бы ни было фиксированное число х,
Действительно,
Если 
- фиксированное число, то найдется такое целое положительное число N, что
Введем обозначение 
тогда, заметив, что 
можем написать при 
и т.д.
потому что
Но величина 
постоянная, т. е. не зависит от 
стремится к нулю при 
Поэтому
Следовательно, 
при 
Из предыдущего следует, что при любом 
взяв достаточное число членов, мы можем вычислить 
с любой степенью точности.
2. Разложение функции 
. Находим последовательные производные от 
Подставляя полученные значения в формулу (10) § 6, получим разложение функции 
по формуле Тейлора:
Так как 
при всех значениях 
Применим полученную формулу для приближенного вычисления 
Положим 
, т. е. ограничимся двумя первыми членами разложения; 
. Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Следовательно, погрешность меньше 0,001, т. е. 
с точностью до 0,001.
На рис. 97 даны графики функции 
и первых трех приближений: 
3. Разложение функции 
Рис. 97.
Находя значения последовательных производных при 
от функции 
и подставляя в формулу Маклорена, получим разложение:
Здесь также 
при всех значениях х.
