§ 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении

Как и в случае кривых на плоскости, определяется длина дуги пространственной кривой (рис. 202). При движении переменной точки по кривой длина дуги s изменяется; и обратно, при изменении s изменяются координаты переменной точки А, лежащей на кривой. Следовательно, координаты переменной точки кривой А можно рассматривать как функции длины дуги

В этих параметрических уравнениях кривой параметром является длина дуги

Рис. 202.

Вектор выразится так:

или

т. е. вектор является функцией длины дуги

Выясним геометрический смысл производной Как видно из рис. 202, имеют место следующие равенства:

Мы уже видели в § 2, что вектор направлен по касательной к кривой в точке А в сторону возрастания s. С другой стороны, имеет место равенство (предел отношения длины хорды к длине дуги). Следовательно, есть единичный вектор, направленный по касательной; обозначим его через а:

Если вектор задан проекциями: то

причем

Рис. 203.

Рассмотрим, далее, вторую производную векторной функции , т. е. производную от и выясним ее геометрическое значение. Из формулы (2) следует, что Следовательно, нам нужно наити

Из рис. 203 имеем . Проведем из точки В вектор Из треугольника находим или

Следовательно, . Так как по доказанному длина вектора а не меняется, то следовательно, треугольник равнобедренный.

Угол при вершине этого треугольника есть угол поворота касательной к кривой при переходе из точки А в точку В, т. е. соответствует приращению длины дуги Из треугольника находим

как

Разделим обе части последнего равенства на

Перейдем к пределу в обеих частях последнего равенства при . В левой части получим

Далее,

так как в данном случае мы рассматриваем такие кривые, что существует предел и, следовательно, при

Таким образом, после перехода к пределу получаем

Отношение угла поворота касательной при переходе от точки А к точке В к длине дуги АВ, взятое по абсолютной величине, называется, так же как и для плоской кривой, средней кривизной данной линии на участке АВ: средняя кривизна

Предел средней кривизны при называется кривизной линии, в точке А и обозначается буквой

Но в этом случае из равенства (4) следует, что . длина производной от единичного вектора касательной по длине

дуги равняется кривизне линии в данной точке. Так как вектор а единичный, то его производная перпендикулярна к нему (см. § 3, следствие).

Итак, вектор по длине равен кривизне кривой, а по направлению перпендикулярен к вектору касательной.

Определение. Прямая, имеющая направление вектора и проходящая через соответствующую точку кривой, называется главной нормалью кривой в данной точке. Единичный вектор этого направления обозначим через .

Так как длина вектора равна К — кривизне кривой, то

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны линии в данной точке и обозначается через R, т. е. Поэтому можем написать

Из этой формулы следует

Но . Следовательно,

Последняя формула дает возможность вычислить кривизну линии в любой точке, если эта линия задана параметрическими уравнениями, в которых параметром является длина дуги s (т. е. если радиус-вектор переменной точки данной линии выражен как функция от длины дуги).

Рассмотрим случай, когда радиус-вектор выражен как функция произвольного параметра . В этом случае длину дуги s будем рассматривать как функцию параметра t. Тогда вычисление кривизны производится следующим образом:

Так как то

Дифференцируя правую и левую части и сокращая на 2, получим

Далее, из формулы (7) следует

Дифференцируем обе части последнего равенства:

подставляя полученное выражение в формулу (6), будем иметь

Выражая и по формулам (8) и (9) через производные от , получим

Формулу (10) можно переписать так:

Мы получили формулу, которая дает возможность вычислить кривизну данной линии в любой ее точке при произвольном параметрическом задании этой кривой.

Если в частном случае кривая является плоской и лежит в плоскости Оху, то ее параметрические уравнения имеют вид

Подставляя эти выражения х, в формулу (11), мы получим выведенную ранее (в гл. VI) формулу, дающую кривизну плоской кривой, заданной параметрически:

Пример. Вычислить кривизну винтовой линии в произвольной точке.

Решение:

Следовательно,

откуда

Таким образом, винтовая линия имеет постоянный радиус кривизны.

Замечание. Если кривая лежит в плоскости, то, не нарушая общности, можно предположить, что она лежит в плоскости всегда можно добиться преобразованием координат). Если же кривая лежит в плоскости то но тогда и и, следовательно, вектор лежит также в плоскости Оху.

Отсюда получаем вывод: если кривая лежит в плоскости, то ее главная нормаль лежит в той же плоскости.

Скорость точки при криволинейном движении. Пусть движущаяся точка в момент времени t находится в точке М, определяемой радиус-вектором рис. 200), а в момент находится в точке , определяемой радиус-вектором Тогда вектор называется вектором перемещения точки. Отношение вектора перемещения к соответствующему приращению времени называется средней скоростью точки за промежуток времени:

Вектор средней скорости также направлен по хорде (см. рис. 200, с. 291) в сторону движения точки (при прямолинейном движении он направлен по самой траектории).

Скорость точки в данный момент определяется так:

т. е.

Таким образом можно сказать: Скорость точки в данный момент равна первой производной от радиус-вектора точки по времени.

На основании формулы (2) § 2 следует, что проекции скорости на оси координат будут

Модуль скорости определяется по формуле (3) § 2:

Если ввести длину дуги s, как это делалось в начале этого параграфа, и рассматривать длину дуги s как функцию времени t, то формулу (12) можно записать так:

где - абсолютная~величина скорости, а — единичныи вектор, направленный по касательной в сторону движения.

Ускорение точки при криволинейном движении. Аналогично тому, как это было определено в § 25 гл. III, ускорением точки w при криволинейном движении называется производная

от вектора скорости по времени:

Но , следовательно,

Если будем исходить из формулы (14), то получим

Раскрывая последнюю производную по формуле (III) § 3, получим

Преобразуем производную пользуясь формулами (7) и (5):

Подставляя в равенство (17), окончательно получаем

Здесь — единичный вектор, направленный по касательной в сторону движения, — единичный вектор, направленный по главной нормали.

Формула (18) словами формулируется так.

Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от абсолютной величины скорости, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке.

Так как векторы взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения определяется формулой