§ 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных

Определение 1. Мы говорим» что функция имеет максимум в точке (т. е. при ), если

для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Определение 2. Совершенно аналогично говорят, что функция имеет минимум в точке если

для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.

Пример 1. Функция достигает минимума при , т. е. в точке (1, 2). Действительно, , а так как всегда положительны при то Геометрическая картина, соответствующая данному случаю, изображена на рис. 185.

Рис. 185.

Рис. 186.

Пример 2. Функция при (т. е. в начале координат) достигает максимума (рис. 186).

Действительно, Возьмем внутри окружности точку отличную от точки (0, 0); тогда при будет и поэтому

Данное выше определение максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом.

Положим тогда

1) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает максимума в точке

2) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает минимума в точке

Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, дадим переменной у определенное значение, именно . Тогда функция будет функцией одной переменной х. Так как при она имеет экстремум (максимум или минимум), то, следовательно, или равно нулю, или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что или равно нулю, или не существует.

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.

Так, например, функция имеет производные , которые обращаются в нуль при Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом (рис. 187).

Рис. 187.

Точки, в которых не существует) не существует), называются критическими точками функции Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то (в силу теоремы 1) это может случиться только в критической точке.

Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 2. Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т. е.

Тогда при

1) имеет максимум, если

2) имеет минимум, если

3) не имеет ни максимума, ни минимума, если

4) если , то экстремум может быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование).

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции (формула (6) § 16). Полагая , будем иметь

где стремится к нулю при .

По условию

Следовательно,

Обозначим теперь значения вторых частных производных в точке через А, В, С:

Обозначим: через угол между направлением отрезка , где М есть точка , и осью тогда . Подставляя эти выражения в формулу для найдем

Предположим, что .

Разделив и умножив на А выражение, стоящее в квадратных скобках, получим

Рассмотрим теперь четыре возможных случая.

1) Пусть . Тогда в числителе дроби стоит сумма двух неотрицательных величин. Они одновременно в нуль

не обращаются, так как первый член обращается в нуль при второй при .

Если то дробь есть отрицательная величина, не обращающаяся в нуль. Обозначим ее через тогда

где не зависит от при . Следовательно, при достаточно малых будет или тогда для всех точек достаточно близких к точке имеет место неравенство

а это означает, что в точке функция достигает максимума.

2) Пусть Тогда, рассуждая аналогично, получим

или

т. е. имеет минимум в точке

Пусть . В этом случае функция не имеет ни максимума, ни минимума. Функция возрастает, Когда мы движемся из точки по одним направлениям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям. Действительно, при перемещении вдоль луча имеем

при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча , такого, что , то при будет

при движении вдоль этого луча функция убывает.

3) Пусть . В этом случае функция тоже не имеет ни максимума, ни минимума. Исследование проводится так же, как и в случае 3.

3) Пусть Тогда и равенство (2) можно переписать в виде

При достаточно малых значениях выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет знак, так как оно близко к а множитель

меняет знак в зависимости от того, будет ли больше нуля или меньше нуля (после выбора мы можем взять настолько малым, что не будет изменять знак всей квадратной скобки). Следовательно, и в этом случае меняет знак при различных т. е. при различных следовательно, и в этом случае нет ни максимума, ни минимума.

Таким образом, каков бы ни был знак А, имеем всегда следующее положение:

Если в точке то функция не имеет в этой точке ни максимума, ни минимума. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например, форму седла (см. выше рис. 187). Говорят, что функция имеет в этой точке минимакс.

4) Пусть . В этом случае на основании формул (2) и (3) сделать заключение о знаке нельзя. Так, например, при будем иметь

при знак определяется знаком здесь требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким-либо иным способом). Таким образом, теорема 2 полностью доказана.

Пример 3. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. 1) Находим критические точки:

Решая систему уравнений

получаем

2) Находим производные второго порядка в критической точке (-4/3; 1 /3) и определяем характер критической точки:

Следовательно, в точке (-4/3; 1/3) данная функция имеет - минимум, а именно:

Пример 4. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. 1). Найдем критические точки, пользуясь необходимыми ловиями экстремума:

Отсюда получаем две критические точки:

2) Найдем производные второго порядка:

3) Исследуем характер первой критической точки:

Следовательно; в точке (1; 1) данная функция имеет минимум, именно:

4) Исследуем характер второй критической точки

Следовательно, во второй критической точке функция не имеет ни максимума, ни минимума (минимакс).

Пример 5. Разложить данное положительное число а на три положительных слагаемых так, чтобы их произведение имело наибольшее значение.

Релгение. Обозначим слагаемые: первое через второе через тогда третье будет Произведение этих слагаемых равно По условии задачи Следовательно, и у могут принимать значения, принадлежащие области, ограниченной прямыми

Найдем частные производные функции и:

Приравнивая производные нулю, получим систему уравнений

Решая эту систему находим критические точки:

Первые три точки лежат на границе области, последняя — внутри. На границе функция а равна нулю, а внутри области она положительна; следовательно, в точке функция и имеет максимум (так как единственная экстремальная точка внутри треугольника). Максимальное значение произведения есть

Проведем исследование характера критических точек, пользуясь достаточными условиями. Найдем частные производные второго порядка функции и:

В точке имеем

Следовательно, в точке нет ни максимума, ни минимума.

В точке имеем Значит, в точке тоже нет ни максимума, ни минимума. В точке имеем И в точке нет ни максимума, ни минимума. В точке имеем Следовательно, в точке имеем максимум.

Замечание. Теория максимумов и минимумов функции нескольких переменных является основой для одного метода получения формул для изображения функциональных зависимостей на основании экспериментальных данных. Этот вопрос изложен в § 19.