§ 4. Область изменения переменной величины

Переменная величина принимает различные числовые значения. В зависимости от характера рассматриваемой задачи совокупность этих значений может быть различная. Например, температура воды, подогреваемой в обычных условиях, будет меняться от комнатной температуры, равной 15—18° С, до точки кипения, 100° С. (Переменная же величина а может принимать все значения от —1 до

Значения переменной величины геометрически изображаются точками числовой оси. Так, значения переменной а при всевозможных значениях а изображаются совокупностью точек отрезка числовой оси от — 1 до 1, включая и точки — 1 и 1 (рис. 2).

Рис. 2.

Определение. Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной.

Отметим следующие области изменения переменной величины, которые часто будут встречаться в дальнейшем.

Промежутком или интервалом называется совокупность всех чисел заключенных между данными числами а и b (а или с помощью неравенств

Отрезком или сегментом называется совокупность всех чисел заключенных между двумя данными числами а и b, причем оба числа а и b принадлежат рассматриваемой совокупности; его обозначают так: или с помощью неравенств . Иногда отрезок называется замкнутым промежутком или замкнутым интервалом.

Если одно из чисел а или b, например а, присоединяется к промежутку, а другое — нет, то получается полузамкнутый промежуток, его можно задать неравенствами а и обозначить

Если присоединяется число и не присоединяется число а, то получается полузамкнутый промежуток который можно задать неравенствами

Если переменная принимает всевозможные значения, большие чем а, то такой интервал обозначают и задают

условными неравенствами Так же рассматриваются бесконечные интервалы и полузамкнутые бесконечные интервалы, задаваемые условными неравенствами

Пример. Область изменения переменной при всевозможных значениях есть отрезок [-1, 1] и определяется неравенствами -1<х<1.

Данные выше определения можно сформулировать, используя вместо понятия «число» понятие «точка», например:

Отрезком называется совокупность всех точек заключенных между данными точками а и b (концами отрезка), причем концы отрезка принадлежат рассматриваемой совокупности.

Окрестностью данной точки называется произвольный интервал содержащий эту точку внутри себя, т. е. интервал концы которого удовлетворяют условию Часто рассматривается окрестность точки для которой является серединой. Тогда называется центром окрестности, величина называется радиусом окрестности. На рис. 3 изображена окрестность точки с радиусом .

Рис. 3.