§ 15. Градиент

В каждой точке области D, в которой задана функция и , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Докажем,

далее, следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению.

Теорема. Пусть дано скалярное поле и определено в этом скалярном поле поле градиентов

Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора и на вектор

Доказательство. Рассмотрим единичный вектор соответствующий вектору

Вычислим скалярное произведение векторов

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции и по направлению вектора S.

Рис. 180.

Рис. 181.

Следовательно, мы можем написать

Если обозначим угол между векторами через (рис. 180), то можем написать

или

Теорема доказана.

На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. В данной точке строим вектор (рис. 181). Строим сферу, для которой является диаметром.

Из точки М проводим вектор S. Обозначим точку пересечения вектора с поверхностью сферы через Р. Тогда очевидно, что если угол между направлениями градиента и отрезка МР при этом т. е. Очевидно, что при изменении направления вектора 5 на противоположное производная изменит знак, а ее абсолютная величина останется прежней. Установим некоторые свойства градиента.

1) Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно

Справедливость этого утверждения непосредственно следует из равенства (3): наибольшее значение будет при этом случае

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору равна нулю.

Это утверждение следует из формулы (3). Действительна, в этом случае

Пример 1. Дана функция

а) Определим градиент в точке . Выражение градиента этой функции в произвольной точке будет

Следовательно,

б) Определим производную от функции в точке в направлении градиента. Направляющие косинусы градиента будут

Следовательно

т. е.

Замечание. Если функция есть функция двух переменных, то вектор

лежит в плоскости Докажем, что направлен перпендикулярно к линии уровня и лежащей в плоскости и проходящей через соответствующую точку. Действительно, угловой коэффициент касательной к линии уровня и будет равен Угловой коэффициент градиента равен Очевидно, что Это и доказывает справедливость нашего утвержнения (рис. 182).

Рис. 183.

Рис. 184.

Рис. 182.

Аналогичное свойство градиента функции трех переменных будет установлено в § 6 гл. IX.

Пример 2. Определить градиент функции в точке

Решение. Здесь

Следовательно,

Уравнение линии уровня (рис. 184), проходящей через данную точку, будет