§ 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

Пусть уравнение

есть уравнение поверхности, изображенной на рис. 173.

Проведем плоскость . В сечении этой плоскости с поверхностью получится линия . При данном рассмотрим на плоскости некоторую точку Точке М соответствует точка , принадлежащая поверхности Оставляя неизменным, дадим переменной у приращение Тогда функция получит приращение соответствует точка на поверхности

Отношение равно тангенсу угла, образуемого секущей РТ с положительным направлением оси

Следовательно, предел

равен тангенсу угла , образованного касательной к кривой РТ в точке Р с положительным направлением оси Оу:

Рис. 173.

Итак, частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z = f(x, у) плоскостью

Аналогично частная производная численно равна тангенсу угла наклона а касательной к сечению поверхности плоскостью у = const.