ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах
Если на отрезке 
функция 
то, как известно (§ 2, гл. XI), площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
осью Ох и прямыми 
равна
Если 
на 
то определенный интеграл 
также 0. По абсолютной величине он равен площади Q соответствующей криволинейной трапеции: 
Рис. 232.
Если 
конечное число раз меняет знак на отрезке 
то интеграл по всему отрезку 
разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где 
и отрицателен там, где 
Интеграл по всему отрезку даст соответствующую алгебраическую сумму площадей, лежащих выше и ниже оси Ох (рис. 232).
Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вычислить интеграл 
Пример 1. Вычислить площадь Q фигуры, ограниченной синусоидой 
и осью Ох, при 
(рис. 233).
Решение. Так как 
при 
при 
то
Следовательно, 
Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми 
и ординатами 
то при условии 
будем иметь (рис. 234)
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис. 235) 
.
Решение. Находим точки пересечения кривых: 
откуда 
Рис. 233.
Рис. 234.
Рис. 235.
Рис. 236.
Следовательно,
Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, если кривая задана уравнениями в параметрической форме
Пусть уравнения (3) определяют некоторую функцию y = f(x) на отрезке 
и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
На основании уравнений (3) получим 
Следовательно,
изменяется от 
до 
следовательно, t изменяется от 
до 0,
и одной аркой циклоиды 
соответствует изменение 
от 0 до 
По формуле (4) имеем
.
