ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

§ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах

Если на отрезке функция то, как известно (§ 2, гл. XI), площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью Ох и прямыми равна

Если на то определенный интеграл также 0. По абсолютной величине он равен площади Q соответствующей криволинейной трапеции:

Рис. 232.

Если конечное число раз меняет знак на отрезке то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где и отрицателен там, где Интеграл по всему отрезку даст соответствующую алгебраическую сумму площадей, лежащих выше и ниже оси Ох (рис. 232).

Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вычислить интеграл

Пример 1. Вычислить площадь Q фигуры, ограниченной синусоидой и осью Ох, при (рис. 233).

Решение. Так как при при то

Следовательно,

Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми и ординатами то при условии будем иметь (рис. 234)

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис. 235) .

Решение. Находим точки пересечения кривых: откуда

Рис. 233.

Рис. 234.

Рис. 235.

Рис. 236.

Следовательно,

Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, если кривая задана уравнениями в параметрической форме

(рис. 236)

где Пусть уравнения (3) определяют некоторую функцию y = f(x) на отрезке и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Сделаем замену переменной в этом интеграле: На основании уравнений (3) получим Следовательно,

Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции в случае кривой, заданной параметрически.

Пример 3. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом

Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса и удвоим. Здесь изменяется от до следовательно, t изменяется от до 0,

Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной осью и одной аркой циклоиды

Решение. Изменению t от 0 до соответствует изменение от 0 до По формуле (4) имеем

Окончательно получаем .