Главная > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Основные теоремы о пределах

В этом параграфе, как и в предыдущем, мы будем рассматривать совокупности функций, которые зависят от одного и того же аргумента при этом или .

Мы будем проводить доказательство для одного из этих случаев, так как для другого доказательство проводится аналогично. Иногда мы вообще не будем писать ни ни подразумевая то или другое.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть Тогда на основании теоремы 1 § 4 можем написать

где - бесконечно малые. Следовательно,

Так как есть постоянная величина, - величина бесконечно малая, то снова по теореме 1 § 4 заключаем, что

Пример 1.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих

переменных

Доказательство. Для сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть Следовательно,

Произведение есть величина постоянная. Величина на основании теорем § 4 есть величина бесконечно малая. Следовательно,

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, если — постоянная и, следовательно, , то что и требовалось доказать.

Пример

Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

Доказательство. Пусть Следовательно, , где — бесконечно малые. Напишем тождества

Дробь у есть постоянное число, а дробь по теоремам 4 и 5 § 4 есть бесконечно малая переменная величина, так как есть бесконечно малая, а знаменатель имеет пределом . Следовательно,

Пример 3.

Здесь мы воспользовались доказанной теоремой о пределе дроби, так как предел знаменателя при отличен от нуля. Если же предел знаменателя

есть нуль, то теорема о пределе дроби не может быть применена. В этом случае требуется производить специальные рассмотрения.

Пример 4. Найти Здесь знаменатель и числитель при стремятся к нулю и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведем следующее тождественное преобразование:

Это преобразование справедливо при всех значениях отличных от . Поэтому, имея в виду определение предела, можем написать

Пример 5. Найти . При знаменатель стремится к нулю, а числитель к нулю не стремится (числитель стремится к единице). Следовательно, предел обратной величины есть нуль, т. е.

Отсюда на основании теоремы 2 предыдущего параграфа будем иметь

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций выполняются неравенства при этом при при стремятся к одному и тому же пределу b, то при х->а (или при ) стремится к тому же пределу.

Доказательство. Для определенности будем рассматривать изменение функций при Из неравенств следуют неравенства по условию Следовательно, при любом найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство . В меньшей из указанных окрестностей будут выполняться неравенства , а следовательно, будут выполняться неравенства

Теорема 5. Если при (или при ) функция у принимает неотрицательные значения и при этом стремится к пределу b, то b есть неотрицательное число: . Доказательство. Предположим, что тогда , т. е. модуль разности больше положительного числа и, следовательно, не стремится к нулю при

Но тогда у при не стремится к b, что противоречит условию теоремы. Значит, предположение, что приводит к противоречию. Следовательно, .

Аналогично доказывается, что если то

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций стремящихся к пределам при при выполняется неравенство , то имеет место .

Доказательство. По условию следовательно (по теореме 5), или .

Пример 6. Докажем, что

Из рис. 42 следует: если , то . Очевидно, что при будет Из этих неравенств на основании теорем 5 и 6 следует, что

Рис. 42.

Пример 7. Докажем, что

Действительно, Следовательно,

Пример 8. Докажем, что заметим, что следовательно,

В некоторых исследованиях вопроса о пределе переменных приходится решать две самостоятельные задачи:

1) доказывать, что предел переменной существует, и устанавливать границы, внутри которых рассматриваемый предел находится;

2) вычислять рассматриваемый предел с нужной степенью точности.

Иногда первый вопрос решается с помощью следующей, важной для дальнейшего теоремы.

Теорема 7. Если переменная величина v возрастающая, т. е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т. е. то эта переменная величина имеет предел где

Аналогичное утверждение имеет место и для убывающей ограниченной переменной величины.

Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, так как оно основывается на теории действительных чисел, которую мы здесь не даем.

В следующих двух параграфах будут получены пределы двух функций, имеющие большое применение в математике.

1
Оглавление
email@scask.ru