§ 5. Основные теоремы о пределах

В этом параграфе, как и в предыдущем, мы будем рассматривать совокупности функций, которые зависят от одного и того же аргумента при этом или .

Мы будем проводить доказательство для одного из этих случаев, так как для другого доказательство проводится аналогично. Иногда мы вообще не будем писать ни ни подразумевая то или другое.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть Тогда на основании теоремы 1 § 4 можем написать

где - бесконечно малые. Следовательно,

Так как есть постоянная величина, - величина бесконечно малая, то снова по теореме 1 § 4 заключаем, что

Пример 1.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих

переменных

Доказательство. Для сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть Следовательно,

Произведение есть величина постоянная. Величина на основании теорем § 4 есть величина бесконечно малая. Следовательно,

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, если — постоянная и, следовательно, , то что и требовалось доказать.

Пример

Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

Доказательство. Пусть Следовательно, , где — бесконечно малые. Напишем тождества

Дробь у есть постоянное число, а дробь по теоремам 4 и 5 § 4 есть бесконечно малая переменная величина, так как есть бесконечно малая, а знаменатель имеет пределом . Следовательно,

Пример 3.

Здесь мы воспользовались доказанной теоремой о пределе дроби, так как предел знаменателя при отличен от нуля. Если же предел знаменателя

есть нуль, то теорема о пределе дроби не может быть применена. В этом случае требуется производить специальные рассмотрения.

Пример 4. Найти Здесь знаменатель и числитель при стремятся к нулю и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведем следующее тождественное преобразование:

Это преобразование справедливо при всех значениях отличных от . Поэтому, имея в виду определение предела, можем написать

Пример 5. Найти . При знаменатель стремится к нулю, а числитель к нулю не стремится (числитель стремится к единице). Следовательно, предел обратной величины есть нуль, т. е.

Отсюда на основании теоремы 2 предыдущего параграфа будем иметь

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций выполняются неравенства при этом при при стремятся к одному и тому же пределу b, то при х->а (или при ) стремится к тому же пределу.

Доказательство. Для определенности будем рассматривать изменение функций при Из неравенств следуют неравенства по условию Следовательно, при любом найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство . В меньшей из указанных окрестностей будут выполняться неравенства , а следовательно, будут выполняться неравенства

Теорема 5. Если при (или при ) функция у принимает неотрицательные значения и при этом стремится к пределу b, то b есть неотрицательное число: . Доказательство. Предположим, что тогда , т. е. модуль разности больше положительного числа и, следовательно, не стремится к нулю при

Но тогда у при не стремится к b, что противоречит условию теоремы. Значит, предположение, что приводит к противоречию. Следовательно, .

Аналогично доказывается, что если то

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций стремящихся к пределам при при выполняется неравенство , то имеет место .

Доказательство. По условию следовательно (по теореме 5), или .

Пример 6. Докажем, что

Из рис. 42 следует: если , то . Очевидно, что при будет Из этих неравенств на основании теорем 5 и 6 следует, что

Рис. 42.

Пример 7. Докажем, что

Действительно, Следовательно,

Пример 8. Докажем, что заметим, что следовательно,

В некоторых исследованиях вопроса о пределе переменных приходится решать две самостоятельные задачи:

1) доказывать, что предел переменной существует, и устанавливать границы, внутри которых рассматриваемый предел находится;

2) вычислять рассматриваемый предел с нужной степенью точности.

Иногда первый вопрос решается с помощью следующей, важной для дальнейшего теоремы.

Теорема 7. Если переменная величина v возрастающая, т. е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т. е. то эта переменная величина имеет предел где

Аналогичное утверждение имеет место и для убывающей ограниченной переменной величины.

Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, так как оно основывается на теории действительных чисел, которую мы здесь не даем.

В следующих двух параграфах будут получены пределы двух функций, имеющие большое применение в математике.