§ 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах

Пусть кривая задана уравнением вида

Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым:

Если в эти формулы подставить вместо его выражение через 0, т. е. то получим:

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой (1), причем параметром является 0.

Тогда

Подставляя последние выражения в формулу (1) предыдущего параграфа, получаем формулу для вычисления кривизны кривой в полярных координатах:

Пример. Определить кривизну спирали Архимеда в произвольной точке (рис. 145).

Рис. 145.

Решение. Следовательно,

Заметим, что при больших значениях 0 имеют место приближенные равенства: , поэтому заменяя в предыдущей формуле на на получаем приближенную формулу (для больших значений 0);

Таким образом, ттри больших значениях 0 спираль Архимеда имеет приблизительно ту же кривизну что и окружность радиуса .