§ 25. Механическое значение второй производной

Путь s, пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени t выражается формулой

Как уже известно (см. § 1), скорость v тела в данный момент равна первой производной от пути по времени:

Пусть в некоторый момент t скорость тела была равна о. Если движение не является равномерным, то за промежуток времени истекший с момента t, скорости изменится и получит приращение

Средним ускорением за время называется отношение приращения скорости к приращению времени:

Ускорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю:

иначе говоря, ускорение (в данный момент) равно производной от скорости по времени:

но так как то, следовательно,

т. e. ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути По времени. Исходя из равенства (1), получаем

Пример. Найти скорость v и ускорение а свободно падающего тела, если зависимость расстояния s от времени t дается формулой

где - ускорение земного тяготения, значение s при

Решение. Дифференцируя, находим

из этой формулы следует, что

Дифференцируя еще раз, находим:

Заметам, что, обратно, если ускорение некоторого движения постоянно и равно g, то скорость выражается равенством (4), а расстояние — равенством (3) при условии, что