§ 12. Исследование кривых, заданных параметрически
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями
В этом случае исследование и построение кривой проводятся аналогично тому, как это было сделано для кривой, заданной уравнением
Вычисляем производные
Для тех точек кривой, вблизи которых кривая является графиком некоторой функции y = f(x), вычисляем производную
Находим значения параметра 
при которых хотя бы одна из производных 
или 
обращается в нуль или терпит разрыв. (Такие значения t мы будем называть критическими значениями.) По формуле (3) в каждом из интервалов 
, а следовательно, и в каждом из интервалов 
определяем знак 
тем самым определяем области возрастания и убывания.
Это дает также возможность определить характер точек, соответствующих значениям параметра 
Далее, вычисляем
На основании этой формулы определяем направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближений к которым или х, или у стремятся к бесконечности, и
такие значения t, при приближении к которыми х, и у стремятся к бесконечности. Затем производим исследование обычным способом.
Некоторые особенности, появляющиеся при исследовании кривых, заданных параметрически, выясним на примерах.
Пример 1, Исследовать кривую, заданную уравнениями
Решение. Величины 
определены для всех значений t. Но так как функции 
периодические с периодом 
достаточно рассмотреть изменение параметра t в пределах от 0 до 
при этом областью изменения 
будет отрезок 
и областью изменения у будет отрезок 
. Следовательно, рассматриваемая кривая асимптот не имеет. Далее, находим
производные обращаются в нуль при 
Определяем 
За 
На основании формул (2), (3) составляем следующую таблицу:
Из таблицы следует, что уравнения (Г) определяют две непрерывные функции вида y = f(x) при 
будет 
(см. две первые строчки таблицы), при 
будет 
(см. две носледние строчки таблицы). Из формулы (3) следует:
В этих точках касательная к кривой вертикальна. Далее, находим:
В этих точках касательная к кривой горизонтальна. Затем находим:
Отсюда следует:
На основании результатов исследования можем построить кривую (рис. 135). Эта кривая называется астроидой.
Рис. 135.
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнениями (декартов лист)
Решение. Обе функции определены при всех значениях 
кроме 
при этом
Заметим, далее, что
Найдем 
Для параметра t получаем следующие четыре критических значения}
Далее, находим
На основании формул 
составляем таблицу
Из формулы 
находим;
Следовательно, начало координат кривая пересекает дважды: с касательной, параллельной оси 
и с касательной, параллельной оси Оу.
Далее,
В этой точке касательная к кривой вертикальна.
В этой точке касательная к кривой горизонтальна. Исследуем вопрос о существовании асимптоты:
Следовательно, прямая 
является асимптотой ветви кривой при 
Аналогичным образом найдем:
Таким образом, найденная прямая является асимптотой и для ветви кривой при 
Рис. 136.
На основании проведенного исследования строим кривую (рис. 136). Некоторые вопросы, связанные с исследованием кривых, будут дополнительно рассмотрены в главе VIII, § 19 «Особые точки кривой».
