Упражнения к главе VI

Найти кривизну кривых в указанных точках:

1. в точках (0, b) и Отв. в точке в точке в точке (3, 4). Отв. 24/125. 3. в точке Отв в точке (2, 0). Отв. в произвольной точке. Отв.

Найти радиус кривизны нижеследующих кривых в указанных точках; вычертить каждую кривую и построить соответствующий круг кривизны:

Найти радиус кривизны кривых:

Найти точки кривых, в которых радиус кривизны имеет наименьшее значение:

Найти координаты центра кривизны и уравнения эволюты для каждой из следующих кривых:

30. Вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения Отв

Для уравнения определить приближенное значение корня, заключенное в интервале (1; 1,1). Отв. 1,045.

32. Вычислить корни уравнения с точностью до 0,01. Отв.

Решить приближенно уравнение Отв.

34. Найти приближенное значение корня уравнения который находится между 0 и Отв. 4,4935.

35. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения Указание. Привести уравнение к Отв.

Разные задачи

36. Показать, что в каждой точке лемнискаты кривизна пропорциональна радиус-вектору этой точки.

37. Найти наибольшее значение радиуса кривизны кривой Отв.

38. Найти координаты центра кривизны кривой в точке, где . Отв.

39. Доказать, что для точек спирали Архимеда при величина разности между радиус-вектором и радиусом кривизны стремится к 0.

40. Найти параболу имеющую с синусоидой в точке общие касательную и кривизну. Сделать чертеж. Отв.

41. Функция y = f(x) определена так:

Каковы должны быть для того, чтобы линия y = f(x) имела везде непрерывную кривизну? Сделать чертеж. Отв.

42. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.

43. Написать уравнение окружности кривизны параболы в точке (1, 1). Отв.

44. Написать уравнение окружности кривизны кривой в точке Отв.

45. Найти длину всей эволюты эллипса, полуоси которого равны а и Отв.

46. Найти приближенное значение корней уравнения с точностью до 0,01. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень «0,84.

47. Найти приближенное значение корней уравнения с точностью до 0,01. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень «1,64.

48. Найти приближенное значение корней уравнения с точностью до 0,001. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень «1,096,