§ 5. Частные производные функции нескольких переменных

Определение. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю.

Частная производная по от функции обозначается одним из символов

Таким образом, по определению,

Аналогично частная производная по у от функции определяется как предел отношения частного приращения функции по у к приращению при стремлении к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов

Таким образом,

Заметив, что вычисляется при неизменном у, при неизменном мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по от функции называется производная по вычисленная в предположении, что у — постоянная. Частной производной по у от функции называется производная по у, вычисленная в предположении, что постоянная.

Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций

одной переменной, и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Дана функция требуется найти частные производные

Решение. .

Пример 2.

Здесь

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. Так, если имеем функцию и четырех переменных

то

Пример 3.