§ 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора

В § 5 было замечено, что если в некоторой точке имеем то в этой точке может быть либо максимум, либо минимум, либо нет ни того, ни другого. При этом указывалось, что для решения вопроса в этом случае нужно ввести исследование первым способом, т. е. путем исследования знака первой производной слева и справа от точки Теперь мы покажем, что можно в этом случае исследование вести и с помощью формулы Тейлора, выведенной в § 6 гл. IV. Для большей общности предположим, что не только но и все производные до порядка включительно от функции обращаются в нуль при

а

Предположим, далее, что имеет непрерывные производные до порядка включительно в окрестности точки

Напишем формулу Тейлора для принимая во внимание равенства (1):

где — число, заключенное между а и х.

Так как непрерывна в окрестности точки а и то найдется такое малое положительное число , что при любом удовлетворяющем неравенству будет . При этом если то и во всех точках интервала будет если то во всех точках этого интервала будет

Перепишем формулу (2) в виде

и рассмотрим различные частные случаи.

Первый случай, нечетное.

а) Пусть Тогда найдется интервал во всех точках которого производная отрицательна. Если есть точка этого интервала, то тоже находится между и и, следовательно, Так как число, то при и поэтому правая часть в формуле (2) отрицательна.

Следовательно, при во всех точках интервала имеем а это значит, что при функция имеет максимум.

б) Пусть Тогда при достаточно малом значении во всех точках интервала имеет Следовательно, правая часть формулы (2) будет положительна, т. е. при во всех точках указанного интервала будет

а это значит, что при функция имеет минимум.

Второй случай, четное.

Тогда нечетное и величина имеет разные знаки при

Если h достаточно мало по абсолютной величине, то производная во всех точках интервала сохраняет тот же знак, что и в точке а. Следовательно, имеет разные знаки при и при . Но это значит, что прих нет ни максимума, ни минимума.

Заметим, что если при четном , то для для

Если же при четном , то для для

Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.

Если при имеем

и первая не обращающаяся в нуль производная есть производная четного порядка, то в точке а

Если же первая не обращающаяся в нуль производная есть производная нечетного порядка, то в точке а функция не имеет ни максимума, ни минимума. При этом

Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. Найдем критические значения функции

Из уравнения получаем единственную критическую точку (так как данное уравнение имеет лишь один действительный корень).

Исследуем характер критической точки

Следовательно, при функция имеет минимум.