§ 13. Поверхности уровня

Пусть в пространстве имеется область D, в которой задана функция

В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле. Если, например, и обозначает температуру в точке , то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т. д.

Рассмотрим точки области D, в которых функция и имеет постоянное значение с:

Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение с, то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.

Пример 1. Пусть задано скалярное поле

Здесь поверхностями уровня будут поверхности

т. е. эллипсоиды с полуосями .

Если функция и есть функция двух переменных х и у:

то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости

которые называются линиями уровня.

Если значения и мы будем откладывать по оси

то линиями уровня на плоскости будут проекции линий,

которые получаются в пересечении поверхности с плоскостями (рис. 176). Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности

Рис. 176.

Рис. 177.

Пример 2. Определить линии уровня функции Линиями урорня будут линии с уравнениями . Это (рис. 177) окружности с радиусом . В частности, при получаем окружность