§ 11. Общий план исследования функций и построения графиков

Под «исследованием функции» обычно понимается разыскание:

1) естественной области существования функции;

2) точек разрыва функции;

3) интервалов возрастания и убывания функции;

4) точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции;

5) областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;

6) асимптот графика функции.

На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием).

Замечание 1. Если исследуемая функция четная, т. е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. если

то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том оснований, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 1. Функция четная, так как (см. рис. 5).

Пример 2. Функция четная, так как (см. рис. 16).

Замечание 2. Если функция нечетная, т. е. такая, что при изменении аргумента функция меняет знак, т. е. если

то эту функцию достаточно исследовать при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 3. Функция нечетная, так как (см. рис. 7).

Пример 4. Функция нечетная, так как (см. рис. 15).

Замечание 3. Так как знание одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема, и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определили и области возрастания и убывания функции.

Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Область существования функции — интервал . Сразу отметим, что при имеем а при имеем

2) Функция всюду непрерывна.

3) Исследуем функцию на максимум и минимум: из равенства

находим критические точки: . Исследуем характер критических точек:

Следовательно, при функция имеет минимум:

Далее,

Следовательно, при функция имеет максимум:

4) Определим области возрастания и убывания функции:

5) Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба: из равенства

получаем

Исследуя как функцию от х, находим

Следовательно, точка с координатами есть точка перегиба; точно так же точки суть точки перегиба.

6) Определим асимптоты кривой:

Следовательно, прямая есть единственная наклонная асимптота.

Вертикальных асимптот кривая не имеет, так как ни для одного конечного значения функция не стремится к бесконечности.

Рис. 133.

График исследуемой кривой изображен на рис. 133.

Пример 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Функция определена при всех значениях .

2) Функция всюду непрерывна.

3) Исследуем функцию на максимум и минимум:

Производная существует всюду, за исключением точек

Исследуем предельные значения производной при и при

при будет при будет

Следовательно, при функция имеет минимум. Значение функции в этой точке равно нулю.

Исследуем теперь функцию в другой критической точке При производная также стремится к бесконечности. Однако в данном случае для всех значений близких к (находящихся как справа, так и слева от точки ), производная отрицательна. Следовательно, в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. В точке так же как и вблизи этой точки, функция убывает; касательная к кривой в этой точке вертикальна.

При производная обращается в нуль. Исследуем характер этой критической точки. Рассматривая выражение первой производной, замечаем, что при будет при будет

Следовательно, при функция имеет максимум: 4.

4) На основании проведенного исследования получаем области возрастания и убывания функции:

5) Определяем области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба: вторая производная

ни в одной точке не обращается в нуль. Однако существуют две точки, в которых вторая производная терпит разрыв: это точки

Исследуем знак второй производной вблизи каждой из этих точек:

при имеем кривая обращена выпуклостью вверх;

при имеем кривая обращена выпуклостью вверх.

Значит, точка с абсциссой не является точкой перегиба.

Рис. 134.

При а имеем обращена выпуклостью вверх; при имеем обращена выпуклостью вниз, Значит, точка () на кривой является точкой перегиба.

6) Определяем асимптоты кривой:

Следовательно, прямая

есть наклонная асимптота кривой . График исследуемой функции изображен на рис. 134,