§ 4. Дифференцируемость функций
Определение. Если функция
имеет производную в точке
, т. е. если существует
то мы говорим, что при данном значении
функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка
или интервала
, то говорят, что она дифференцируема на отрезке
или соответственно в интервале
Теорема. Если функция
дифференцируема в некоторой точке
то она в этой точке непрерывна. Действительно, если
то
где
есть величина, стремящаяся к нулю при
. Но тогда
отсюда следует, что
при
, а это и значит, что функция
непрерывна в точке
(см. § 9 гл. II).
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т. е. из того, что в какой-нибудь точке
функция
непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема: функция
может и не иметь производной в точке
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Функция
определена на отрезке [0, 2] следующим образом (рис. 61):
Эта функция при
не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Действительно, при
имеем
при
получаем
Таким образом, рассматриваемый предел зависит от того, каков знак
а это значит, что в точке
функция не имеет производной.
Рис. 61.
Рис. 62.
Геометрически этому соответствует тот факт, что в точке
данная «кривая» не имеет определенной касательной.
Непрерывность же функции в точке
следует из того, что
и, следовательно, в обоих случаях
при
Пример 2. Функция
график которой изображен на рис. 62, определена и непрерывна для всех значений независимой переменной. Выясним, имеет ли эта функция производную при
для этого найдем значения функции при
и при
имеем
при
имеем
Следовательно,
Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента: