§ 4. Дифференцируемость функций
Определение. Если функция
имеет производную в точке 
, т. е. если существует
то мы говорим, что при данном значении 
функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка 
или интервала 
, то говорят, что она дифференцируема на отрезке 
или соответственно в интервале 
Теорема. Если функция 
дифференцируема в некоторой точке 
то она в этой точке непрерывна. Действительно, если
то
где 
есть величина, стремящаяся к нулю при 
. Но тогда
отсюда следует, что 
при 
, а это и значит, что функция 
непрерывна в точке 
(см. § 9 гл. II).
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т. е. из того, что в какой-нибудь точке 
функция 
непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема: функция 
может и не иметь производной в точке 
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Функция 
определена на отрезке [0, 2] следующим образом (рис. 61):
Эта функция при 
не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Действительно, при 
имеем
при 
получаем
Таким образом, рассматриваемый предел зависит от того, каков знак 
а это значит, что в точке 
функция не имеет производной.
Рис. 61.
Рис. 62.
Геометрически этому соответствует тот факт, что в точке 
данная «кривая» не имеет определенной касательной.
Непрерывность же функции в точке 
следует из того, что
и, следовательно, в обоих случаях 
при 
Пример 2. Функция 
график которой изображен на рис. 62, определена и непрерывна для всех значений независимой переменной. Выясним, имеет ли эта функция производную при 
для этого найдем значения функции при 
и при 
имеем 
при 
имеем 
Следовательно, 
Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
значит, предела не имеет). Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке 
Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол 
, т. е. совпадает с осью Оу.