§ 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения

Методы исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения

Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней.

Рис. 155.

Рис. 156.

Для уравнений выше четвертой степени таких формул, вообще говоря, не существует. Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, на практике иногда целесообразно применять

приближенный метод решения уравнения. Ниже будут изложены некоторые методы приближенного вычисления корней уравнения. 1. Способ хорд. Пусть дано уравнение

где — непрерывная дважды дифференцируемая функция на отрезке Допустим, что путем исследования функции y = f(x) внутри отрезка мы выделим отрезок такой, что внутри этого отрезка функция монотонная (или возрастающая, или убывающая), а на его концах значения функции разных знаков. Примем для определенности, что (рис. 155). Так как функция y = f(x) непрерывна на отрезке то ее график пересечет ось в какой-либо одной точке между

Рис. 157.

Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой соответствующие абсциссам . Абсцисса точки пересечения этой хорды с осью и будет приближенным значением корня (рис. 156). Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки

Так как при то, следовательно, откуда

или после преобразования

Чтобы получить более точное начение корня, определяем . Если , то повторяем тот же прием, применяя формулу (2) к отрезку . Если , то применяем эту формулу к отрезку Повторяя этот прием несколько раз, мы будем, очевидно, получать все более точные значения корня и т.д.

Пример 1. Найти приближенные значения корней уравнения

Решение. Найдем, прежде всего, участки монотонности функции Вычислив производную мы обнаруживаем, что она положительна при отрицательна при и снова положительна

при (рис. 157). Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.

Для удобств дальнейших, вычислений сузим эти участки монотонности (но так, чтобы на каждом участке лежал соответствующий корень). Для этого, подставляя в выражение наугад те или иные значения выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:

Таким образом, корни находятся в интервалах

Найдем приближенное значение корня в интервале (0; 1); по формуле (2) имеем

Так как , то, следовательно, кбрень заключен между 0 и 0,4. Применяя к этому интервалу снова формулу (2), получим следующее приближение:

Аналогичным образом найдем приближенные значения корней в других интервалах.

2. Способ касательных (способ Ньютона). Пусть снова причем на отрезке первая производная не меняет своего знака. Тогда в интервале имеется один корень уравнения

Предположим еще, что и вторая производная не меняет своего знака на отрезке этого можно добиться путем уменьшения длины интервала, содержащего корень.

Сохранение знака второй производной на отрезке означает, что кривая либо только выпукла, либо только вогнута на участке

Проведем касательную к кривой в точке В (рис. 158).

Рис. 158.

Абсцисса точки пересечения касательной с осью будет приближенным значением корня. Чтобы найти эту абсциссу, напишем уравнение касательной в точке В:

Заметив, что при , получим

Проведя затем касательную в точке аналогично находим более точное значение корня Повторяя этот прием несколько раз, мы можем вычислить приближенное значение корня с любой нужной нам точностью.

Отметим следующее обстоятельство. Если бы мы провели касательную к кривой не в точке В, а в точке А, то могло оказаться, что точка пересечения касательной с осью находится вне интервала

Рис. 159.

Рис. 160.

Из рис. 158 и 159 следует, что касательную нужно проводить в том конце дуги, в котором знаки функции и ее второй производной совпадают. Так как на отрезке вторая производная, по условию, сохраняет знак, то это совпадение знаков функции и второй производной на одном из концов обязательно имеет место. Это правило остается верным и для случая, когда . Если касательная проводится в левом конце интервала, то в формуле (3) вместо нужно подставить

В случае, когда внутри интервала есть точка перегиба С, способ касательных может дать приближенное значение корня, лежащее вне интервала (рис. 160).

Рис. 161.

Пример 2. Применим формулу (3) к вычислению корня уравнения заключенного в интервале (0; 1). Имеем

поэтому по формуле (3) получаем

3. Комбинированный способ (рис. 161). Применяя на отрезке одновременно способ хорд и способ касательных, мы получаем две точки лежащие по разные стороны от искомого корня а (так как имеют разные знаки). Далее, на отрезке применяем снова метод хорд и метод касательных. В результате получаем два числа: еще более близких к значению корня. Продолжаем таким образом до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая степень точности. Заметим, что при комбинированном методе мы приближаемся к искомому корню одновременно с обеих сторон (т. е. мы находим одновременно как приближенное значение корня с избытком, так и приближенное значение корня с недостатком).

Так, в рассмотренном нами примере путем подстановки убеждаемся, что . Следовательно, значение корня заключено между «айденными приближенными значениями: