§ 11. Численное дифференцирование

Пусть значения некоторой неизвестной функции заданы таблицей, которая рассматривалась в начале § 10. Требуется определить приближенно производную этой функции. Эта задача решается так. Строится интерполяционный многочлен Лагранжа или Ньютона и от этого многочлена находится производная.

Так как чаще рассматриваются таблицы с равными разностями между роседними значениями аргумента, то мы будем пользоваться интерполяционной формулой Ньютона. Пусть даны три значения функции при значениях аргумента . Тогда пишем многочлен (2) § 10 и его дифференцируем. Получаем приближенное значение производной функции на отрезке

При получаем

Если будем рассматривать многочлен 3-го порядка (см. (3) § 10), то после дифференцирования для его производной получим выражение

В частности, при получаем

Если мы будем пользоваться формулой (4) § 10, то для приближенного выражения производной при получим

Заметим, что для функции, имеющей производные, разность есть бесконечно малая 1-го порядка, бесконечно малая 2-го порядка, бесконечно малая 3-го порядка и т. д. относительно к.