§ 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции

Теорема 1. Производная от функции где n — любое действительное число, равна т. е.

Доказательство. Пусть Логарифмируя данную функцию, будем иметь

Дифференцируем обе части полученного равенства по считая у функцией от Подставляя сюда значение окончательно получаем Легко показать, что эта формула верна и для если только имеет смысл

Теорема 2. Производная от функции где равна , т. е.

Доказательство. Логарифмируя равенство получим Дифференцируем полученное равенство, считая у функцией от или .

Если основание и мы получим формулу

Пример 1. Дана функция Представим ее как сложную функцию, введя промежуточный аргумент тогда их и, следовательно,

Сложной показательной функцией называется функция, у которой и основание и показатель степени являются функциями от , например, вообще, всякая функция вида

есть сложная показательная функция.

Теорема 3

Доказательство. Логарифмируем функцию у:

Дифференцируя полученное равенство по будем иметь и,

откуда

Подставляя сюда выражение получаем .

Таким образом, производная сложной показательной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от есть постоянная (т. е. если рассматривать как степенную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что v есть функция от если рассматривать как показательную функцию).

Пример 2. Если то или

Прием, примененный в этом параграфе для нахождения производных и состоящий в том, что сначала находят производную

логарифма данной функции, широко применяется при дифференцировании функций. Применение этого приема нередко значительно упрощает вычисления.

Пример 4. Требуется найти производную от функции

Решение. Логарифмируя, находим

Дифференцируем обе части последнего равенства:

Умножая на у и подставляя вместо у, получаем

Замечание. Выражение являющееся производной по от натурального логарифма данной функции называется логарифмической производной.