§ 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента

Определение. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке:

или

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 146), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Рис. 146.

Рис. 147.

Точка С называется центром кривизны данной кривой в точке М, круг радиуса R с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой.

Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением

Зафиксируем на кривой точку (х, у) и определим координаты центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 147). Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

(Здесь X и Y — текущие координаты точки нормали.)

Так как точка лежит на нормали, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4):

Далее, точка находится от точки на расстоянии, равном радиусу кривизны

Решая совместно уравнения (5) и (6), определим а и Р:

отсюда

а так как , то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки следует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай и случай . Если , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае формулы координат центра запишем в следующем виде:

Аналогично можно показать, что формулы (7) будут справедливы и в случае

Если кривая задана параметрическими уравнениями

то координаты центра кривизны легко получить из формул (7), подставляя в них вместо их выражения через параметр:

Тогда

Пример 1. Определить координаты центра кривизны параболы

а) в произвольной точке ; б) в точке ); в) в точке .

Решение. Подставляя значения и в формулы (7), получим (рис. 148)

a) ; б) при находим при имеем .

Если в точке данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определенный центр кривизны . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

Рис. 148.

Рис. 149.

Таким образом, геометрическое место центров кривизны данной линии называется ее эволютой. По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или разверткой)

Если данная кривая определяется уравнением , то уравнения (7) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром х. Исключая из этих уравнений параметр это возможно), получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты . Если же кривая задана параметрическими уравнениями , то уравнения (7) дают параметрические уравнения эволюты (так как величины являются функциями от ).

Пример 2. Найти уравнение эволюты параболы .

Решение. На основании примера 1 имеем для любой точки раболы Исключая из этих уравнений параметр получим то — уравнение полукубической параболы (рис. 149).

Пример 3. Найти уравнение эволюты эллипса, заданного параметрическими уравнениями

Решение. Вычисляем производные от х и у по

Подставляя выражения производных в формулы (7), получим

Таким образом,

Аналогично получаем:

Исключив параметр t, получаем уравнение эволюты эллипса в виде

Здесь — текущие кооординаты эволюты (рис. 150).

Рис. 150.

Пример 4. Найти параметрические уравнения эволюты циклоиды

Решение.

Подставив полученные выражения в формулу (7), находим

Сделаем преобразование переменных, положив

тогда уравнения эволюты примут вид

они определяют в координатах циклоиду с тем же производящим кругом радиуса а. Таким образом, эволютой циклоиды является такая же циклоида, но смещенная по оси Ох на величину — и по оси Оу на величину - (рис. 151).

Рис. 151.