§ 7. Способы задания функции

1. Табличный способ задания функции. При этом Способе выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции

Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т. д.

В результате экспериментального изучения явлений также могут получиться таблицы, выражающие функциональную зависимость между измеряемыми величинами. Так, например, в результате измерения температуры воздуха на метеорологической площадке в определенный день получается следующая таблица:

Значение температуры Т (в градусах) в зависимости от времени t (в часах)

Эта таблица определяет Т как функцию

Графический способ задания функции. Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некоторую совокупность точек при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси то эта совокупность точек определяет некоторую однозначную функцию значениями аргумента являются абсциссы точек, значениями функции — соответствующие ординаты (рис. 4).

Рис. 4.

Совокупность точек плоскости абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты — соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.

III. Аналитический способ задания функции. Сначала разъясним понятие «аналитическое выражение». Аналитическим выражением будем называть символическое обозначение совокупности известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные или переменные величины.

Отметим, что под совокупностью известных математических операций будем понимать не только математические операции, известные из курса средней школы (сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.), но и те, которые будут определяться по мере изучения курса.

Аналитическими выражениями, например, являются и т. д.

Если функциональная зависимость y = f(x) такова, что f обозначает аналитическое выражение, то говорят, что функция у от х задана аналитически.

Примеры функций, заданных аналитически: и т. д.

Здесь функции заданы аналитически с помощью одной формулы (под формулой понимается равенство двух аналитических выражений). В таких случаях можно говорить о естественной области определения функции.

Естественной областью определения функции, заданной аналитически, является совокупность значений при которых стоящее справа аналитическое выражение имеет вполне определенное значение. Так, естественной областью определения функции является бесконечный интервал так как функция определяется при всех значениях х. Функция определена при всех значениях кроме значения так как при этом значении знаменатель обращается в нуль. Для функции естественной областью определения будет отрезок и т. д.

Замечание. Иногда бывает нужно рассматривать не всю естественную область определения функции, а только некоторую ее часть. Так, зависимость площади Q круга от радиуса R определяется функцией Областью определения данной функции при рассмотрении данного геометрического вопроса является бесконечный интервал Естественной же областью определения данной функции является бесконечный интервал

Если функция задана аналитически, то она может быть изображена графически на плоскости координат Так, графиком функции является парабола, изображенная на рис. 5.

Рис. 5.