§ 10. Некоторые свойства непрерывных функций

В этом параграфе рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Эти свойства будут сформулированы в виде теорем, которые мы приводим без доказательства.

Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором отрезке то на отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

где х — любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

Значение функции будем называть наибольшим значением функции на отрезке значение функции будем называть наименьшим значением функции на отрезке .

Коротко эту теорему формулируют так:

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М. и наименьшего значения т.

Рис. 52.

Рис. 53.

Смысл этой теоремы наглядно иллюстрируется на рис. 52. Замечание. Утверждение теоремы о существовании наибольшего значения функции может оказаться неверным, если рассматривать значения функции на интервале Так, например, если мы будем рассматривать функцию на интервале то среди ее значений нет наибольшего и нет наименьшего. Действительно, на интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значений х. (Нет крайней левой точки, так как, какую бы ни взяли точку х, найдется точка левее взятой, например точка также нет крайней правой, а следовательно, нет ни наименьшего, ни наибольшего значений функции у = х.)

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется по крайней мере одна точка , в которой функция обращается в нуль:

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. График непрерывной функции y = f(x), соединяющий точки , где , пересекает ось Ох по крайней мере в одной точке (рис. 53).

Пример. Дана функция На отрезке [1, 2] она непрерывна. Следовательно, на этом отрезке существует точка, где обращается в нуль. Действительно, при 2 (рис. 54).

Теорема 3. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке . Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения , то, каково бы ни было число заключенное между числами А и В, найдется такая точка заключенная между а и b, что

Рис. 54.

Смысл данной теоремы отчетливо иллюстрируется на рис. 55. В данном случае всякая прямая пересекает график функции

Рис. 55.

Замечание. Отметим, что теорема 2 является частным случаем этой теоремы, так как если имеют разные знаки, то в качестве можно взять 0 и тогда будет заключено между числами А и .

Рис. 56.

Следствие теоремы 3. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наименьшими и наибольшими значениями.

Действительно, пусть Рассмотрим отрезок Тогда по теореме 3 на этом отрезке функция y = f(x) принимает любое значение заключенное между . Но отрезок заключен внутри рассматриваемого интервала, на котором определена функция (рис. 56).