§ 6. Интегрирование по частям

Пусть — две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения вычисляется по следующей формуле: Отсюда, интегрируя, получаем

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и и чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители вырабатывается

в процессе решения задач, и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

Пример 1. ; тогда Следовательно,

Замечание. При определении функции v по дифференциалу мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (1) вместо v выражение Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

Пример 2. Требуется вычислить . Положим тогда Следовательно,

Пример 3. Требуется вычислить . Положим и тогда

Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая Тогда . Окончательно будем иметь

Пр и мер 4. Требуется вычислить Положим тогда

Применим интегрирование по частям к последнему интегралу, принимая

тогда

Поэтому окончательно

Пример 5. Произведем тождественные преобразования. Умножим и разделим подынтегральную функцию на

Последний интеграл проинтегрируем по частям, полагая тогда

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

Перенося интеграл справа налево и выполнив элементарные преобразования, окончательно получим

Пример 6. Вычислить интегралы

Применяя метод интегрирования по частям к первому интегралу, получим

К последнему интегралу снова применим метод интегрирования по частям:

Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, получим

Найдем из последнего равенства

откуда

Аналогично находим