в процессе решения задач, и мы покажем на ряде примеров, как это делается.
Пример 1. 
; тогда 
Следовательно,
Замечание. При определении функции v по дифференциалу 
мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (1) вместо v выражение 
Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.
Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида
некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.
Пример 2. Требуется вычислить 
. Положим 
тогда 
Следовательно,
Пример 3. Требуется вычислить 
. Положим и 
тогда 
Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая 
Тогда 
. Окончательно будем иметь
Пр и мер 4. Требуется вычислить 
Положим 
тогда
Применим интегрирование по частям к последнему интегралу, принимая
тогда
Поэтому окончательно
Пример 5. 
Произведем тождественные преобразования. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 
Последний интеграл проинтегрируем по частям, полагая 
тогда 
Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь
Перенося интеграл справа налево и выполнив элементарные преобразования, окончательно получим
Пример 6. Вычислить интегралы
Применяя метод интегрирования по частям к первому интегралу, получим 
К последнему интегралу снова применим метод интегрирования по частям: 
Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, получим
Найдем из последнего равенства 
откуда
Аналогично находим
— две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения 
вычисляется по следующей формуле: 
Отсюда, интегрируя, получаем
чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу 
и вычисление интеграла 
составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла 
Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители 
вырабатывается
