§ 14. Производная по направлению

Рассмотрим в области D функцию и и точку . Проведем из точки М вектор S, направляющие косинусы которого . На векторе S на расстоянии от его начала рассмотрим точку . Таким образом,

Будем предполагать, что функция и непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области

Аналогично тому, как это делалось в § 7, полное приращение функции представим так:

где стремятся к нулю при . Разделим все члены равенства (1) на

Очевидно, что

Следовательно, равенство (2) можно переписать так:

Рис. 178.

Рис. 179.

Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора S и обозначается , т. е.

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (3), получим

Из формулы (5) следует, что, зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S. Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению.

Так, например, при получаем:

Пример. Дана функция

Найти производную в точке в направлении вектора

б) в направлении вектора

Решение, а) Находим направляющие косинусы вектора

Следовательно,

Частные производные

в точке будут

Итак,

б) Находим направляющие косинусы вектора :

Следовательно,

Заметим для дальнейшего, что