ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ
§ 1. Длина дуги и ее производная
Пусть дуга кривой 
(рис. 137) есть график функции y = f(x), определенной на интервале 
Определим длину дуги кривой. Возьмем на кривой АВ точки 
. Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию 
, вписанную в дугу 
Обозначим длину этой ломаной через 
Рис. 137.
Длиной дуги 
называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей из длин отрезков ломаной если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной 
.
Отметим, что это определение длины дуги произвольной кривой аналогично определению длины окружности.
В главе XII будет доказано, что если на отрезке 
функция 
и ее производная 
непрерывны, то дуга кривой 
заключенная между точками 
имеет вполне определенную длину, причем будет указан способ вычисления этой длины. Там же будет установлено (как следствие), что в указанных условиях отношение длины любой дуги этой кривой к длине стягивающей ее хорды стремится к 1, когда длина хорды стремится к 0:
Эта теорема легко может быть доказана для окружности 
однако в общем случае мы пока примем ее без доказательства.
Мы получили выражение дифференциала длины дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y = f(x). Однако формула (2) сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями. Если кривая задана параметрически:
то
и выражение (2) принимает вид
некоторая фиксированная точка кривой, а 
- переменная точка этой кривой. Обозначим через s длину дуги 
(рис. 139).
точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция х. Найдем производную s по х.
приращение А. Тогда дуга s получит приращение 
. Пусть 
— хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти 
поступим следующим образом: из 
находим 
Умножим и разделим левую часть на 
Учитывая, что 
и что 
, получим
