§ 3. Частное и полное приращение функции

Рассмотрим линию пересечения поверхности

с плоскостью параллельной плоскости (рис. 169).

Рис. 169.

Так как в этой плоскости у сохраняет постоянное значение, то z вдоль кривой PS будет меняться только в зависимости от изменения х. Дадим независимой переменной приращение тогда получит приращение, которое называют частным приращением z по и обозначают через (на рисунке отрезок так что

Аналогично, если сохраняет постоянное значение, а у получает приращение , то получает приращение, называемое частным приращением по у. Это приращение обозначают символом рисунке отрезок

Приращение функция получает «вдоль линии» пересечения поверхности с плоскостью параллельной плоскости

Наконец, сообщив аргументу приращение а аргументу у — приращение , получим для новое приращение которое называется полным приращением функции и определяется формулой

На рис. 169 изображается отрезком

Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т. е. .

Пример.

При имеем

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных. Так, для функции трех

переменных имеем