§ 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть

Возьмем на этой кривой точку (рис. 88) и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке М, предполагая, что эта касательная не параллельна оси ординат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М, имеет вид Для касательной поэтому уравнение касательной имеет вид

Наряду с касательной к кривой в данной точке очень часто приходится рассматривать нормаль.

Определение. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная к касательной в этой точке.

Рис. 88.

Рис. 89.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной равенством

Следовательно, уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке имеет вид

Пример 1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке

Решение. Так как , то угловой коэффициент касательной равен

Следовательно, уравнение касательной?

Уравнение нормали: или

Длина Т отрезка (рис. 88) касательной, заключенного между точкой касания и осью называется длиной касательной. Проекция этого отрезка на ось т. е. отрезок QP, называется подкасательной; длина подкасательной обозначается через Длина N отрезка MR называется длиной нормали, а проекция RP отрезка RM на ось называется поднормалью; длина поднормали обозначается через

Найдем величины для кривой и точки

Из рис. 88 видно, что

поэтому

Далее, из этого же рисунка ясно, что

поэтому

Эти формулы выведены в предположении, что Однако они сохраняются и в общем случае.

Рис. 90.

Пример 2. Найти уравнения касательной и нормали, длйны касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке для которой (рис. 90).

Решение. Из уравнений (1) находим;

Находим координаты точки касания М:

Уравнение касательной:

Уравнение нормали

Длины подкасательной и поднормали:

Длины касательной и нормали: