§ 5. Производная от функции y = x^n при n целом и положительном
Для нахождения производной от данной функции y = f(x), исходя из общего определения производной, необходимо произвести следующие действия:
1) дать аргументу 
приращение 
вычислить наращенное значение функции:
2) найти соответствующее приращение функции:
3) составить отношение приращения функции к приращению аргумента:
4) найти предел данного отношения при 
Мы применим здесь и в следующих параграфах этот общий способ для вычисления производных от некоторых элементарных функций.
Теорема. Производная функций 
, где 
— целое положительное число, равна 
, т. е.
Доказательство. Имеем функцию
1) Если 
получает приращение 
, то
2) Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим
или
3) Находим отношение
4) Найдем предел этого отношения
следовательно, 
, что и требовалось доказать.
Пример 1. 
Пример 
Последний результат имеет простое геометрическое истолкование: касательная к прямой 
при любом значении 
совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с положительным направлением оси 
угол, тангейс которого равен 1.
Отметим, что формула (I) верна и в случае 
дробного и отрицательного. (Это будет доказано в § 12.)
Пример 3. 
Представим данную функцию в виде степени:
тогда по формуле (I) (учитывая только что сделанное замечание) получаем
или
Пример 
Представим у в виде степенной функции:
Тогда
