§ 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач
С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи геометрии, механики и т. д. Рассмотрим некоторые из таких задач.
Задача 1. Дальность
(рис. 114) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью
из орудия, наклоненного под углом
к горизонту» определяется формулой
(g - ускорение силы тяжести). Определить угол
при котором дальность R будет наибольшей при данной начальной скорости
Рис. 114.
Решение. Величина R представляет собой функцию переменного угла
. Исследуем эту функцию на максимум на отрезке
критическое значение
Следовательно, при значении
дальность полета R имеет максимум
Значения функции R на концах отрезка
таковы:
Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение
Задача 2. Какие размеры надо придать цилиндру, чтобы при данном объеме v его полная поверхность S была наименьшей?
Решение. Обозначая через
радиус основания цилиндра и через h высоту цилиндра, будем иметь
Так как объем цилиндра задан, по при данном
величина h определяется формулой
откуда
Подставляя это выражение h в формулу для S, получим
или
Здесь
- заданное число. Таким образом, мы представили S как функцию одной независимой переменной
.
Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке
Следовательно, в точке
функция S имеет минимум. Заметив, что
т. е. что при стремлении
к нулю или к бесконечности поверхность S неограниченно возрастает, мы приходим к выводу, что в точке
функция S имеет наименьшее значение.
Но если
, то
. Таким образом, для того чтобы при данном объеме v полная поверхность S цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться его диаметру.