§ 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач

С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи геометрии, механики и т. д. Рассмотрим некоторые из таких задач.

Задача 1. Дальность (рис. 114) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью из орудия, наклоненного под углом к горизонту» определяется формулой

(g - ускорение силы тяжести). Определить угол при котором дальность R будет наибольшей при данной начальной скорости

Рис. 114.

Решение. Величина R представляет собой функцию переменного угла . Исследуем эту функцию на максимум на отрезке

критическое значение

Следовательно, при значении дальность полета R имеет максимум

Значения функции R на концах отрезка таковы:

Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение

Задача 2. Какие размеры надо придать цилиндру, чтобы при данном объеме v его полная поверхность S была наименьшей?

Решение. Обозначая через радиус основания цилиндра и через h высоту цилиндра, будем иметь

Так как объем цилиндра задан, по при данном величина h определяется формулой откуда Подставляя это выражение h в формулу для S, получим или

Здесь - заданное число. Таким образом, мы представили S как функцию одной независимой переменной .

Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке

Следовательно, в точке функция S имеет минимум. Заметив, что т. е. что при стремлении к нулю или к бесконечности поверхность S неограниченно возрастает, мы приходим к выводу, что в точке функция S имеет наименьшее значение.

Но если , то . Таким образом, для того чтобы при данном объеме v полная поверхность S цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться его диаметру.