§ 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла
Пусть под действием некоторой силы F материальная точка М движется по прямой
причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведенную
силой F при перемещении точки М из положения
в положение
1) Если сила F постоянна, то работа А выражается произведением силы F на длину пути, т. е.
2) Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки, т. е. представляет собой функцию
непрерывную на отрезке
Разобьем отрезок
на
произвольных частей с длинами
затем в каждом частичном отрезке
выберем произвольную точку g. и заменим работу силы
на пути
произведением
Это значит, что в пределах каждого частичного отрезка мы принимаем силу F за постоянную, а именно полагаем
. В таком случае выражение
при достаточно малом
дает нам приближенное значение работы силы F на пути
а сумма
будет приближенным выражением работы силы
на всем отрезке
Очевидно,
представляет собой интегральную сумму, составленную для функции
на отрезке
Предел этой суммы при
существует и выражает работу силы
на пути от точки
до точки
Пример 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на I см нужна сила 10 Н (рис. 245).
Рис. 245.
Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью
где k — постоянная.
Будем выражать S в метрах, F — в ньютонах. При
откуда
На основании формулы (1) имеем 0,05
Пример 2. Сила F, о которой электрический заряд
отталкивает заряд
(того же знака), находящийся от него на расстоянии
, выражается формулой
где k — постоянная.
Определить работу силы F при перемещении заряда
из точки
отстоящей от
на расстоянии
в точку
отстоящую от
на расстоянии
полагая, что заряд
помещен в точке
принятой за начало отсчета.