§ 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла

Пусть под действием некоторой силы F материальная точка М движется по прямой причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведенную

силой F при перемещении точки М из положения в положение

1) Если сила F постоянна, то работа А выражается произведением силы F на длину пути, т. е.

2) Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки, т. е. представляет собой функцию непрерывную на отрезке

Разобьем отрезок на произвольных частей с длинами затем в каждом частичном отрезке выберем произвольную точку g. и заменим работу силы на пути произведением

Это значит, что в пределах каждого частичного отрезка мы принимаем силу F за постоянную, а именно полагаем . В таком случае выражение при достаточно малом дает нам приближенное значение работы силы F на пути а сумма будет приближенным выражением работы силы на всем отрезке

Очевидно, представляет собой интегральную сумму, составленную для функции на отрезке Предел этой суммы при существует и выражает работу силы на пути от точки до точки

Пример 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на I см нужна сила 10 Н (рис. 245).

Рис. 245.

Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью где k — постоянная.

Будем выражать S в метрах, F — в ньютонах. При откуда На основании формулы (1) имеем 0,05

Пример 2. Сила F, о которой электрический заряд отталкивает заряд (того же знака), находящийся от него на расстоянии , выражается формулой где k — постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда из точки отстоящей от на расстоянии в точку отстоящую от на расстоянии полагая, что заряд помещен в точке принятой за начало отсчета.

Решение. По формуле (1) имеем При получим При Последняя величина называется потенциалом поля, создаваемого зарядом