§ 6. Функция

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изучении движения пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от изменения времени. Здесь пройденный путь есть функция времени.

Рассмотрим другой пример. Известно, что площадь круга выражается через радиус так: Если радиус R будет принимать различные числовые значения, то площадь Q также будет принимать различные числовые значения. Таким образом, изменение одной переменной влечет изменение другой. Здесь площадь круга Q есть функция радиуса R. Сформулируем определение понятия «функция».

Определение 1. Если каждому значению переменной принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от или, в символической записи, и т. п.

Переменная называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных называется функциональной зависимостью. Буква в символической записи функциональной зависимости y = f(x) указывает, что над значением нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение у. Вместо

записи и т. д. иногда пишут и т. д., т. е. буквы и т. д. обозначают и зависимую переменную, и символ совокупности операций над х.

Запись где С — постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении одно и то же и равно С.

Определение 2. Совокупность значений для которых определяются значения функции у в силу правила называется областью определения функции (или областью существования функции).

Пример 1. Функция определена при всех значениях х. Следовательно, ее областью определения будет бесконечный интервал

Замечание 1. Если имеем функциональную зависимость двух переменных величин и если рассматривать как упорядоченные переменные величины, то из двух значений функции соответствующих двум значениям аргумента последующим значением функции будет то, которое соответствует последующему значению аргумента. Поэтому естественно, например, следующее определение.

Определение 3. Если функция такова, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция y = f(x) называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция.

Пример 2. Функция при есть функция возрастающая, так как большему значению R соответствует большее значение

Замечание 2. Иногда в определении понятия функции допускают, что каждому значению принадлежащему некоторой области, соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной в отличие от определенной выше функции, которую называют однозначной. В дальнейшем, говоря о функции, мы будем иметь в виду только однозначные функции. Если в силу необходимости придется иногда иметь дело с многозначными функциями, то мы будем делать специальные оговорки.