Упражнения к главе VIII
Найти частные производные следующих функций:
Найти производные неявных функций от 
заданных уравнениями:
показать, что 
какова бы ни была дифференцируемая функция 
Вычислить частные производные второго порядка:
36. Доказать, что если 
то 
37. Доказать, что если 
то 
38. Доказать, что если 
то 
39. Доказать, что если 
то 
при любых дважды дифференцируемых 
40. Найти производную от функции 
в направлении, составляющем с осью 
угол в 60°. Отв. 
.
41. Найти производную от функции 
в точке 
в направлении, идущем от этой точки к точке 
Отв. 9,4.
42. Найти производную функции 
в направлении: 1) Биссектрисы координатного угла 
Отв. 
Отрицательной полуоси 
43. 
. Показать, что в точке 
производная в любом направлении равна нулю («функция стационарна»).
44. Из всех треугольников с одинаковым периметром 
определить треугольник с наибольшей площадью. Отв. Равносторонний треугольник.
45. Найти прямоугольный параллелепипед, который имеет наибольший объем при данной полной поверхности S. Отв. Куб с ребром 
46. Найти расстояние между двумя прямыми в пространстве, уравнения которых 
Отв. 
если 
Отв. 
при 
если 
Отв. 1/2.
приближенное выражение для 
19. То же для 
. Отв. 
если 
если 
Отв. 
где вместо и и 
подставить 
. Отв. Максимум 
при 
при 
Отв. Максимум 
при 
. Отв. Максимум 
при 
Отв. 
касательных.
Отв. В начале координат точка соприкосновения; двойная 
. Отв. 
точка возврата первого рода, 
касательная.
Отв. 
касательных.
Отв. 
возврата второго рода; 
Отв. 
узел; 
Отв. 
точка.
имеет концевую точку в начале координат и касательную — ось 
слева 
