Упражнения к главе VIII

Найти частные производные следующих функций:

Найти полные дифференциалы от следующих функций:

16. Вычислить если Отв.

17. Вычислить при если Отв. 1/2.

18. Составить формулу, дающую при малых абсолютных значениям величин приближенное выражение для 19. То же для . Отв.

Найти и если

20. Найти

21. Найти если

22. Найти если Отв. где вместо и и подставить

Найти полные производные данных функций:

Найти производные неявных функций от заданных уравнениями:

показать, что какова бы ни была дифференцируемая функция

Вычислить частные производные второго порядка:

36. Доказать, что если то

37. Доказать, что если то

38. Доказать, что если то

39. Доказать, что если то при любых дважды дифференцируемых

40. Найти производную от функции в направлении, составляющем с осью угол в 60°. Отв. .

41. Найти производную от функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке Отв. 9,4.

42. Найти производную функции в направлении: 1) Биссектрисы координатного угла Отв. Отрицательной полуоси

43. . Показать, что в точке производная в любом направлении равна нулю («функция стационарна»).

44. Из всех треугольников с одинаковым периметром определить треугольник с наибольшей площадью. Отв. Равносторонний треугольник.

45. Найти прямоугольный параллелепипед, который имеет наибольший объем при данной полной поверхности S. Отв. Куб с ребром

46. Найти расстояние между двумя прямыми в пространстве, уравнения которых Отв.

Исследовать на максимум и минимум функции:

47. . Отв. Максимум при

Минимум при

Отв. Максимум при . Отв. Максимум при

Найти особые точки следующих кривых, исследовать их характер и составить уравнения касательных в них:

Отв. касательных.

Отв. В начале координат точка соприкосновения; двойная касательная

53. . Отв. точка возврата первого рода, касательная.

Отв. касательных.

Отв. возврата второго рода; касательная.

Отв. узел; уравнения касательных.

Отв. точка.

58. Показать, что кривая имеет концевую точку в начале координат и касательную — ось

Показать, что кривая у — имеет узловую точку в начале координат и что касательные в этой точке: справа слева