§ 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости

Вернемся к формулам (Г) и (Г) предыдущего параграфа

или

При изменении t вектор изменяется в общем случае по величине и по направлению. Говорят, что есть векторная функция от скалярного аргумента t. Допустим, что

Тогда говорят, что вектор есть предел вектора и пишут (рис. 199)

Из последнего равенства следуют очевидные равенства

и

Перейдем теперь к вопросу о производной векторной функции скалярного аргумента

предполагая, что начало вектора находится в начале координат. Мы знаем, что последнее уравнение является уравнением некоторой пространственной кривой.

Рис. 199.

Рис. 200.

Возьмем какое-нибудь фиксированное значение t, соответствующее определенной точке М на кривой, и дадим t приращение тогда мы получим вектор

который определяет на кривой некоторую точку (рис. 200). Найдем приращение вектора

На рис. 200, где это приращение изображается вектором

Рассмотрим отношение приращения векторной функции к приращению скалярного аргумента; это, очевидно, есть

вектор, коллинеарный с вектором , так как получается из умножением на скалярный множитель . Мы можем записать этот вектор так:

Если функции имеют производные при выбранном значении t, то множители, стоящие при , в пределе при обратятся в производные Следовательно, в этом случае предел при существует и равен вектору

Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу t. Производную обозначают символом или

Таким образом,

или

Выясним направление вектора .

Так как при точка приближается к точке М, то направление секущей в пределе дает направление касательной. Следовательно, вектор производной — направлен по касательной к кривой в точке М. Длина вектора определяется формулой

На основании полученных результатов легко написать уравнение касательной к кривой

в точке , имея в виду, что в уравнении кривой

Уравнения прямой, проходящей через точку , имеют вид

где — координаты переменной точки прямой, — величины, пропорциональные направляющим косинусам этой прямой (т.е. проекциям направляющего вектора прямой).

С другой стороны, мы установили, что вектор

направлен по касательной. Поэтому проекции этого вектора являются числами, пропорциональными направляющим косинусам касательной, а значит, и числам . Следовательно, уравнения касательной будут иметь вид

Пример 1. Написать уравнения касательной к винтовой линии при произвольном значении t и при

Решение.

По формуле (4) имеем

В частности, при получим

или

Так же как и в случае плоской кривой, прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно, очевидно, провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью.

Из условия перпендикулярности нормальной плоскости к касательной (4) получаем уравнение нормальной плоскости:

Пример 2. Написать уравнение нормальной плоскости к винтовой линии в точке, для которой

Решение. На основании примера 1 и формулы (5) получаем

или

Выведем теперь уравнения касательной прямой и нормальной плоскости пространственной кривой в случае, когда эта кривая дана уравнениями

Выразим координаты х, у, z этой кривой как функции некоторого параметра

Будем предполагать, что дифференцируемые функции от

Подставляя в уравнения (6) вместо выраженные через t их значения для точек кривой, получим два тождества относительно

Дифференцируя тождества (8 а) и (8 б) по t, находим

Из этих уравнений следует, что

Мы здесь предполагаем, разумеется, что выражение однако можно доказать, что окончательные формулы (11) и (12) (см. ниже) справедливы и в том случае, когда

это выражение равно нулю, если только хоть один из определителей, фигурирующих в окончательных формулах, отличен от нуля. Из равенств (10) получаем

Следовательно, на основании формулы (4) уравнения касательной прямой будут иметь вид

или, пользуясь определителями,

Нормальная плоскость представляется уравнением

Эти формулы имеют смысл только тогда, когда хотя бы один из фигурирующих в них определителей отличен от нуля. Если же в некоторой точке кривой все три определителя

обращаются в нуль, то эта точка называется особой точкой пространственной кривой. В этой точке кривая может вообще не иметь касательной, подобно тому как это имело место в особых точках у плоских кривых (см. § 20 гл. VIII).

Пример 3. Найти уравнений касательной прямой и нормальной плоскости к линии пересечения сферы и цилиндра в точке

Решение.

Рис. 201.

Значения производных в данной точке М будут

Поэтому уравнения касательной прямой имеют вид

Уравнение нормальной плоскости

или