§ 6. Площадь поверхности тела вращения

Пусть нам дана поверхность, образованная вращением кривой y = f(x) вокруг оси Ох. Определим площадь этой поверхности на участке Функцию предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка

Как и в § 3, проведем хорды длины которых обозначим через

Каждая хорда длины при вращении опишет усеченный конус, площадь поверхности которого равна Но Применяя теорему Лагранжа, получим где следовательно, Площадь поверхности, описанной ломаной, будет равна или

сумме

распространенной на все звенья ломаной. Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной стремится к нулю, называется площадью рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

так как в слагаемом, соответствующем отрезку фигурирует несколько точек этого отрезка Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т. е.

или

Пример. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением вокруг оси дуги параболы соответствующей изменению от до .

Решение.

По формуле (3) получим

Рис. 244.