§ 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением где непрерывная функция при

Определим площадь сектора ОАВ, ограниченного кривой и радиус-векторами

Разобьем данную область радиус-векторами на частей. Обозначим через углы между проведенными радиус-векторами (рис. 237).

Рис. 237.

Рис. 238.

Обозначим через длину радиус-вектора, соответствующего какому-нибудь углу заключенному между .

Рассмотрим круговой сектор с радиусом - и центральным углом . Его площадь будет равна Сумма даст площадь «ступенчатого» сектора.

Так как эта сумма является интегральной суммой для функции на отрезке то ее предел при есть определенный интеграл Он не зависит от того, — а какой радиус-вектор , мы возьмем внутри угла Этот предел естественно считать искомой площадью фигуры Таким образом, площадь сектора ОАВ равна

или

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рис. 238) .

Решение. Радиус-вектор опишет область с площадью, равной четверти искомой площади, если 0 меняется от 0 до

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной лемнискатой, будет равна