§ 12. Частные производные различных порядков

Пусть имеем функцию двух переменных

Частные производные вообще говоря, являются функциями переменных Поэтому от них

можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядна от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет, очевидно, уже восемь:

Вообще, частная производная порядка есть первая производная от производной порядка. Например, — есть производная порядка; здесь функция сначала раз дифференцировалась по а потом раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

Пример 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции

Решение. Последовательно находим

Пример 2. Вычислить и если

Решение. Последовательно находим

Пример 3. Вычислить если

Решение.

Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным, т. будут ли, например, тождественно равны производные

ИЛИ

Оказывается, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

Доказательство. Для доказательства рассмотрим выражение

Если введем вспомогательную функцию определенную равенством

то А можно записать в виде

Так как, по предположению, определена в окрестности точки то, следовательно, дифференцируема на отрезке ; но тогда, применяя теорему Лагранжа, получим

где заключено между . Но

Так как определена в окрестности точки то дифференцируема на отрезке поэтому, применяв к полученной разности вновь теорему Лагранжа (по переменной ), будем иметь

где у заключено между у и

Следовательно, первоначальное выражение А равно

Переставив средние слагаемые в первоначальном выражении для А, получим

Введем вспомогательную функцию

тогда

Применяя снова теорему Лагранжа, получим

где у заключено между у и Но

Применив еще раз теорему Лагранжа, получим

где заключено между

Таким образом, первоначальное выражение можно записать . виде

Левые части равенств (1) и (2) равны А, следовательно, равны и правые, т. е.

откуда

Переходя в этом равенстве к пределу при получим

Так как производные непрерывны в точке то Окончательно получим:

что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы как следствие получается, что если частные производные и непрерывны, то

Аналогичная теорема имеет место и для функции любого числа переменных.

Пример 4. Найти если

Решение.

Следовательно,

(см., кроме того, примеры 1—2 этого параграфа).