§ 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла

Пусть на плоскости хОу дана система материальных точек с массами Тогда, как известно из механики, момент инерции системы материальных точек относительно точки О определяется так:

где

Как и в § 8, пусть кривая АВ дана уравнением где непрерывная функция. Пусть эта кривая представляет собой материальную линию.

Рис. 248.

Пусть линейная плотность линии равна у. Снова разобьем линию на частей длины где а массы этих частей На каждой части дуги возьмем произвольную точку с абсциссой Ордината этой точки будет Приближенно момент инерции дуги относительно точки О в соответствии с формулой (1) будет

Если функция y = f(x) и ее производная непрерывны, то при сумма (2) имеет предел. Этот предел, выражающийся определенным интегралом, и определяет момент инерции материальной линии:

1. Момент инерции тонкого однородного стержня длины l относительно его конца. Совместим стержень с отрезком оси (рис. 248). В этом случае и формула (3) принимает вид

Если дана масса стержня М, то и формула (4) принимает вид

2. Момент инерции окружности радиуса относительно центра. Так как все точки окружности находятся на расстоянии от центра, а его масса то момент инерции окружности будет

3. Момент инерции однородного круга радиуса R относительно центра. Пусть — масса единицы площади круга. Разобьем круг на колец.

Рассмотрим одно кольцо (рис. 249).

Рис. 249.

Пусть его внутренний радиус внешний Масса этого кольца с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно будет Момент инерции этой массы относительно центра в соответствии с формулой (6) приближенно будет

Момент инерции всего круга как системы колец будет выражаться приближенной формулой

Переходя к пределу при шах получим момент инерции площади круга относительно центра:

Если дана масса круга М, то поверхностная плотность б определяется так: Подставляя это значение, окончательно получаем

4. Очевидно, что если имеем круглый цилиндр, радиус основания которого R и масса то его момент инерции относительно оси выражается формулой (9).