Главная > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие

Покажем далее, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей.

Пусть нам дана правильная рациональная дробь

Будем предполагать, что коэффициенты входящих в нее многочленов — действительные числа и что данная дробь несократима (последнее означает, что числитель и знаменатель не имеют общих корней).

Теорема 1. Пусть есть корень знаменателя кратности k, т. е. где (см. § 6 гл. VII); тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом:

где А — постоянная, не равная нулю, многочлен, степень которого ниже степени знаменателя Доказательство. Напишем тождество

(справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен делился на а. Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство . Так как , то А однозначно определится равенством При таком А будем иметь , где есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена . Сокращая дробь в формуле (2) на а, получаем равенство (1). Следствие. К правильной рациональной дроби

входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень кратности k, то можно написать

где — правильная несократимая дробь. К ней также можно применить только что доказанную теорему, если имеет другие действительные корни.

Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя. Напомним, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены (см. § 8 гл. VII).

В разложении многочлена на действительные множители каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида . Если же комплексные корни имеют кратность , то им соответствует выражение

Теорема 2. Если где многочлен не делится на , то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом.

где многочлен, степень которого ниже степени многочлена

Доказательство. Напишем тождество

справедливое при любых М и N, и определим М и N так, чтобы многочлен делился на Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело те же корни , что и многочлен Следовательно, или Но есть определенное комплексное число, которое можно записать в виде где К и L — некоторые действительные числа. Таким образом, отсюда или

При этих значениях коэффициентов М и N многочлен имеет корнем число а следовательно, и сопряженное число а Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности а следовательно, и на их произведение, т. е. на Обозначая частное от этого деления через получим

Сокращая последнюю дробь в равенстве (4) на получим равенство (3), причем ясно, что степень меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.

Применяя теперь к правильной дроби результаты теорем 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби,

соответствующие всем корням знаменателя Таким образом, из предыдущего вытекает следующий результат.

Если

то дробь может быть представлена в виде

Коэффициенты можно определить из следующих соображений. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов

Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях Придавая частные значения, получим уравнения для определения коэффициентов.

Таким образом, мы видим, что всякая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших рациональных дробей.

Пример. Пусть требуется разложить дробь на простейшие. На основании формулы (5) имеем

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

или

Приравнивая коэффициенты при (свободный член) получим систему уравнений для определения коэффициентов:

Решая эту систему, найдем

Можно было бы также определить некоторые коэффициенты из уравнений, которые получаются при некоторых частных значениях из равенства (6), которое является тождеством относительно х.

Так, полагая получим или полагая получим Если к этим двум уравнениям присоединим два уравнения, получающиеся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях то получим четыре уравнения для определения четырех неизвестных коэффициентов. В результате получаем разложение:

1
Оглавление
email@scask.ru