§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие

Покажем далее, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей.

Пусть нам дана правильная рациональная дробь

Будем предполагать, что коэффициенты входящих в нее многочленов — действительные числа и что данная дробь несократима (последнее означает, что числитель и знаменатель не имеют общих корней).

Теорема 1. Пусть есть корень знаменателя кратности k, т. е. где (см. § 6 гл. VII); тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом:

где А — постоянная, не равная нулю, многочлен, степень которого ниже степени знаменателя Доказательство. Напишем тождество

(справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен делился на а. Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство . Так как , то А однозначно определится равенством При таком А будем иметь , где есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена . Сокращая дробь в формуле (2) на а, получаем равенство (1). Следствие. К правильной рациональной дроби

входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень кратности k, то можно написать

где — правильная несократимая дробь. К ней также можно применить только что доказанную теорему, если имеет другие действительные корни.

Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя. Напомним, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены (см. § 8 гл. VII).

В разложении многочлена на действительные множители каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида . Если же комплексные корни имеют кратность , то им соответствует выражение

Теорема 2. Если где многочлен не делится на , то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом.

где многочлен, степень которого ниже степени многочлена

Доказательство. Напишем тождество

справедливое при любых М и N, и определим М и N так, чтобы многочлен делился на Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело те же корни , что и многочлен Следовательно, или Но есть определенное комплексное число, которое можно записать в виде где К и L — некоторые действительные числа. Таким образом, отсюда или

При этих значениях коэффициентов М и N многочлен имеет корнем число а следовательно, и сопряженное число а Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности а следовательно, и на их произведение, т. е. на Обозначая частное от этого деления через получим

Сокращая последнюю дробь в равенстве (4) на получим равенство (3), причем ясно, что степень меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.

Применяя теперь к правильной дроби результаты теорем 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби,

соответствующие всем корням знаменателя Таким образом, из предыдущего вытекает следующий результат.

Если

то дробь может быть представлена в виде

Коэффициенты можно определить из следующих соображений. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов

Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях Придавая частные значения, получим уравнения для определения коэффициентов.

Таким образом, мы видим, что всякая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших рациональных дробей.

Пример. Пусть требуется разложить дробь на простейшие. На основании формулы (5) имеем

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

или

Приравнивая коэффициенты при (свободный член) получим систему уравнений для определения коэффициентов:

Решая эту систему, найдем

Можно было бы также определить некоторые коэффициенты из уравнений, которые получаются при некоторых частных значениях из равенства (6), которое является тождеством относительно х.

Так, полагая получим или полагая получим Если к этим двум уравнениям присоединим два уравнения, получающиеся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях то получим четыре уравнения для определения четырех неизвестных коэффициентов. В результате получаем разложение: