§ 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме

Окружность, Дана окружность с центром в начале координат и радиусом (рис. 76).

Обозначим через t угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку окружности, и осью Ох. Тогда координаты любой точки окружности выразятся через параметр t следующим образом:

Это — параметрические уравнения окружности.

Рис. 76.

Рис. 77.

Если мы исключим из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая, находим

или

Эллипс. Дано уравнение эллипса

Положим

Подставляя это выражение в уравнение (1) и производя необходимые преобразования, получим

Уравнения

являются параметрическими уравнениями эллипса.

Выясним геометрический смысл параметра t. Проведем две окружности с центрами в начале координат и радиусами а и b (рис. 77). Пусть точка лежит на эллипсе, а В — точка большой окружности, имеющая ту же абсциссу, что и точка М. Обозначим через t угол, образованный радиусом О В с осью Ох. Непосредственно из рисунка следует

На основании равенства заключаем, что , т. е. прямая СМ параллельна оси Ох.

Следовательно, в уравнениях (2) t есть угол, образованный радиусом ОБ и осью абсцисс. Угол t иногда называют эксцентрическим углом.

Циклоида. Циклоидой называется кривая, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения По прямой (рис. 78). Предположим, что точка М катящейся окружности в начале движения совпадала с началом координат.

Рис. 78.

Определим координаты точки М после того, как окружность повернулась на угол t. Обозначим через а радиус катящейся окружности. Как видно из рис. 78,

но так как окружность катится без скольжения, то

Следовательно,

Далее,

Уравнения

являются параметрическими уравнениями циклоиды. При изменении t от О до точка М опишет одну арку циклоиды.

Исключим параметр t из последних уравнений и получим непосредственную зависимость х от у. На отрезке функция имеет обратную:

Подставляя выражение для t в первое из уравнений (3), получим

или при . Непосредственно из рис. 78 замечаем, что при

Заметим, что функция имеет обратную, но она не выражается через элементарные функции. Поэтому и функция не выражается через элементарные функции.

Замечание 1. На примере циклоиды легко убедиться, что в некоторых случаях для исследования функций и кривых параметрические уравнения удобнее, чем непосредственная зависимость у от х или от у.

Астроида. Астроидой называется кривая, заданная следующими параметрическими уравнениями:

Возводя все члены обоих уравнений в степень 2/3 и складывая, получим зависимость между х и у:

или

Ниже (см. § 12 гл. V) будет показано, что эта кривая имеет форму, изображенную на рис. 79. Эта кривая может быть получена как траектория некоторой точки окружности радиуса катящейся без скольжения по другой окружности радиуса а причем меньшая окружность все время остается внутри большей; см. рис. 79).

Рис. 79.

Замечание 2. Отметим, что уравнения (4) и уравнение (5) определяют не одну функцию y = f(x). Они определяют две непрерывные функции на отрезке . Одна из них принимает неотрицательные значения, другая — неположительные.