§ 10. Асимптоты

Очень часто приходится исследовать форму кривой y = f(x), а значит, и характер изменения соответствующей функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние д от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рис. 126 и 127).

Рис. 126.

Рис. 127.

Мы будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси ординат) и наклонные (т. е. не параллельные оси ординат).

I. Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая есть асимптота кривой и обратно, если прямая есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения при приближении к которым функция y = f(x) стремится к бесконечности. Тогда прямая будет вертикальной асимптотой.

Пример 1. Кривая имеет вертикальную асимптоту так как при (рис. 128).

Рис. 128.

Пример 2. Кривая имеет бесконечно много вертикальных асимптот: . Это следует из того, что когда стремится к значениям или

Пример 3. Кривая имеет вертикальную асимптоту так как

II. Наклонные асимптоты. Пусть кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид

Определим числа (рис. 131). Пусть точка, лежащая на кривой, и точка, лежащая на асимптоте.

Рис. 129.

Рис. 130.

Рис. 131.

Длина отрезка МР равна расстоянию от точки М до асимптоты. По условию

Если обозначим через угол наклона к оси Ох, то из найдем

Так как постоянный угол (не равный ), то в силу предыдущего равенства

и наоборот, из равенства (2) следует равенство (2). Но

и равенство (2) принимает вид

Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), наоборот, если при постоянных k и b выполняется равенство (3), то прямая есть асимптота. Определим теперь k и b. Вынося за скобки в равенстве (3), получаем:

Так как , то должно выполняться равенство

При b постоянном . Следовательно, , или

Зная k, из равенства (3) находим b:

Итак, если прямая есть асимптота, то k и b находятся по формулам (4) и (5). Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет.

Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 131 при , но все рассуждения справедливы и для случая

Пример 4. Найти асимптоты кривой

Решение. 1) Ищем вертикальные асимптоты:

Следовательно, прямая есть вертикальная асимптота данной кривой.

2) Ищем наклонные асимптоты:

т. е.

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота данной кривой. Для исследования взаимного расположения кривой и асимптоты рассмотрим разность ординат кривой и асимптота при одном и том же значении х:

При х > 0 эта разность отрицательна, а при — положительна; следовательно, при кривая лежит ниже асимптоты, при х < 0 - выше асимптоты (рис. 132).

Рис. 132.

Пример 5. Найти асимптоты кривой

Решение. 1) Вертикальных асимптот, очевидно, нет.

2) Ищем наклонные асимптоты:

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота при

Заданная кривая не имеет асимптоты при Действительно, не существует, так как

(Здесь первое слагаемое неограниченно возрастает при и, следовательно, предела не имеет.)