§ 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)

Во многих задачах на разыскание наибольших и наименьших значений функции вопрос сводится к разысканию максимумов и минимумов функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями (например, они должны удовлетворять данным уравнениям).

Рассмотрим, например, такую задачу. Из данного куска жести площадью надо сделать закрытую коробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объем.

Обозначим длину, ширину и высоту коробки через . Задача сводится к разысканию максимума функции при условии, что Здесь мы имеем задачу на условный экстремум: переменные х, у, z связаны условием . В настоящем параграфе мы рассмотрим методы решения таких задач.

Рассмотрим сначала вопрос об условном экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции

при условии, что х и у связаны уравнением

При наличии условия (2) из двух переменных х и у независимой будет только одна, например так как у определяется из равенства (2) как функция от х. Если бы мы разрешили уравнение (2) относительно у, то, вставляя в равенство (1) вместо у найденное выражение, получили бы функцию одной переменной х и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум и минимум функции одной независимой переменной х.

Но можно решить поставленную задачу, не разрешая уравнения (2) относительно или у. При тех значениях при которых функция и может иметь максимум или минимум, производная от и по должна обращаться в нуль.

Из (1) находим помня, что у есть функция от

Следовательно, в точках экстремума

Из равенства (2) находим

Это равенство удовлетворяется для всех х и у, удовлетворяющих уравнению (2) (см. § 11).

Умножив члены равенства (4) на неопределенный пока коэффициент А, и сложив их с соответствующими членами равенства (3), получим

или

Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберем К так, чтобы для значений х и у, соответствующих экстремуму функции и, вторая скобка в равенстве (5) обратилась в нуль

Но тогда при этих значениях и у из равенства (5) следует равенство

Таким образом, получается, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:

с тремя неизвестными . Из этих уравнений определяем , которое играло только вспомогательную роль и нам в дальнейшем не требуется.

Из вывода следует, что уравнения (6) являются необходимыми условиями условного экстремума, т. е. в точках экстремума удовлетворяются уравнения (6). Но не при всяких удовлетворяющих уравнениям (6), будет иметь место условный экстремум. Требуется дополнительное исследование характера критической точки. При решении конкретных задач иногда удается установить характер критической точки на основании существа задачи. Заметим, что левые части уравнений (6) суть частные производные функции

по переменным .

Таким образом, для того чтобы найти значения х и у, удовле творяющие условию (2), при которых функция может иметь условный максимум или условный минимум, нужно составить вспомогательную функцию (7), приравнять нулю ее производные по х, у и и из полученных трех уравнений (6) определить искомые х, у (и вспомогательный множитель X). Рассмотренный метод распространяется на исследование условного экстремума функции любого числа переменных.

Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции переменных при условии, что переменные связаны уравнениями

Для того чтобы найти значения при которых могут быть условные максимумы и минимумы, нужно составить функцию

приравнять нулю ее частные производные по

и из уравнений (8) и (9) определить и вспомогательные неизвестные . Так же как и для функции двух переменных, вопрос о том, будет ли при найденных значениях функция иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того, ни другого, мы в общем случае оставляем открытым. Этот вопрос мы будем решать на основании вспомогательных соображений.

Пример 1. Вернемся к задаче, сформулированной в начале этого параграфа: найти максимум функции

при условии, что

Составим вспомогательную функцию

Найдем ее частные производные и приравняем их нулю

Задача сводится к решению системы четырех уравнений (10) и (11) с четырьмя неизвестными . Для решения Этой системы умножим первое из уравнений (11) на второе — на у, третье — на и сложим их; принимая во внимание равенство (10), находим Вставляя в уравнения (П) найденное значение Н получим

Так как х, у, z по смыслу задачи отличны от нуля, то из последних уравнений имеем

Из первых двух уравнений находим из второго и третьего уравнений . На в таком случае из уравнения (10) получаем . Это — единственная система значений , при которых может быть максимум или минимум.

Можно доказать, что полученное решение дает максимум. Впрочем, это ясно и из геометрических соображений (в условиях задачи объем коробки не может быть неограниченно большим; следовательно, естественно ожидать, что при каких-то определениях значениях сторон этот объем будет наибольшим).

Итак, для того чтобы объем коробки был наибольшим, эта коробка должна быть кубом, ребро которого равно

Пример 2. Определить наибольшее значение корня степени из произведения чисел при условии, что их сумма равна данному числу а. Следовательно, задача ставится так: требуется найти максимум функции при условии

Образуем вспомогательную функцию

Находим ее частные производные:

Из последних равенств находим на основании уравнения получаем

По смыслу задачи эти значения дают максимум функции равный

Таким образом, для любых положительных чисел связанных соотношением выполняется неравенство

так как, по доказанному, является наибольшим значением этой функции

Подставляя теперь в неравенство (13) вместо а его значение, полученное из равенства (12), «найдем

Это неравенство справедливо для любых положительных чисел Выражение, стоящее в левой части соотношения (14), называется средним геометрическим этих чисел. Таким образом, среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше их среднего арифметического.