Упражнения к главе III

Найти производные функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1 Отв. Отв. Отв. Отв. Отв. Отв.

Определить тангенсы углов наклона касательных к кривым:

а) При Отв. 3. б) При Отв. 3; сделать чертеж.

а) При Отв. —4. б) При Отв. —1; сделать чертеж.

Найти производные функций:

(см. скан)

Упражнения к главе III (продолжение)

(см. скан)

Упражнения к главе III (продолжение)

(см. скан)

Упражнения к главе III (продолжение)

(см. скан)

Дифференцирование неявных функций

Найти если:

Найти функций, заданных параметрически:

Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым:

157. в точке Сделать чертеж. Отв. в точке . Сделать чертеж. Отв. Сделать чертеж. Отв, при Сделать чертеж.

Тело, брошенное под углом а к горизонту, в безвоздушном пространстве описало под действием силы тяжести кривую (параболу), уравнения которой: Зная, что определить направление движения при: с. Сделать чертеж.

Найти дифференциалы следующих функций:

Вычислить приращения и дифференциалы функций:

166. при Отв. Дано Найти при Дано . Найти при Отв.

169. Зная, что найти приближенные значения Результаты сопоставить с данными таблицы. Отв.

Найти приближенное значение Отв. 1,00262.

Зная, что найти приближенное значение Отв. 2,30146.

Производные различных порядков

(см. скан)

Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали

207. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Отв. Касательная нормаль

208. Найти уравнение касательной и нормали, длйны подкасательной и поднормали окружности в точке М Отв. Касательная

нормаль

209. Показать, что подкасательная параболы в любой точке делится вершиной пополам и поднормаль постоянна и равна Сделать чертеж.

210. Найти уравнение касательной в точке эллипсу К гиперболе .

211. Наити уравнение касательной и нормали к «локону» в точке, где Отв. Касательная нормаль

Показать, что нормаль к кривой проведенная в точке , проходит через начало координат.

213. Показать, что касательная к кривой в точке

214. Найти уравнение той касательной к параболе которая образует угол 45° с осью Ох. Отв. точке (5, 10)].

215. Найти уравнения касательных к окружности параллельных прямой Отв.

Найти уравнения касательных к гиперболе перпендикулярных к прямой Отв. Таких касательных нет.

217. Показать, что заключенный между осями координат отрезок касательной к гиперболе делится точкой касания пополам.

218. Доказать, что заключенный между осями Координат отрезок касательной к астроиде имеет постоянную длину.

219. Под каким углом а пересекаются кривые

220. Найти длины подкасательной, поднормали, касательной и нормали циклоиды в точке, для которой Отв. .

221. Найти величины для астроиды Отв.

Разные задачи

Найти производные функций:

228. Из формул для объема и поверхности шара следует, что Объяснить геометрический смысл этого результата. Найти аналогичное соотношение между площадью круга и длиной окружности.

229. В треугольнике ABC сторона а выражается через две другие стороны b, с и угол А между ними формулой . При постоянных бис сторона а является функцией угла А. Показать, что где есть высота треугольника, соответствующая основанию а. Пояснить Этот результат геометрическими соображениями.

230. Пользуясь понятием дифференциала, выяснить происхождение приближенных формул где есть число малое по сравнению с а.

Период колебания маятника равен Какое влияние на погрешность при вычислении периода Т окажет погрешность в 1% при измерении: l) длины маятника ускорения силы тяжести

Трактриса обладает тем свойством, что для любой ее точки отрезок касательной Т сохраняет постоянную длину. Доказать это, исходя из

1) уравнения трактрисы в форме

2) параметрических уравнений кривой

233. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению постоянные).

234. Полагая доказать равенства

235. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

236. Доказать, что если то