§ 2. Абсолютная величина действительного числа

Введем нужное для дальнейшего понятие абсолютной величины действительного числа.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям

Примеры:

Из определения следует, что для любого справедливо соотношение

Рассмотрим некоторые свойства абсолютных величин.

1. Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых:

Доказательство. Пусть тогда

Пусть , тогда

что и требовалось доказать. Проведенное доказательство легко распространяется на любое число слагаемых.

Примеры:

2. Абсолютная величина разности не меньше разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого:

Доказательство. Положим тогда и по доказанному

откуда

что и требовалось доказать.

3. Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей:

4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя:

Последние два свойства непосредственно следуют из определения абсолютной величины.